Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ đường tròn tâm A cắt đường tròn (O) ở C và D. Kẻ đây BN của đường tròn (O), cắt đường tròn (A) tại điểm E ở bên trong đường tròn (O)

Để chứng minh các hệ quả trong bài toán hình học này, ta sẽ sử dụng các tính chất của đường tròn và định lý Pythagore.

**a) Chứng minh rằng \(\widehat{CEN} = \widehat{EDN}\)**:

1. **Cox ý**: \((O)\) là đường tròn và điểm \(C\) là điểm cắt giữa đường tròn \((O)\) và đường tròn \((A)\). Điểm \(D\) cũng tương tự.

2. **Tính chất**: Hai cung \(CE\) và \(DE\) đều vuông góc với đường kính \(AB\) (vì theo định lý đường kính, góc tạo bởi hai tiếp tuyến từ một điểm ngoài đường tròn là một góc vuông).

3. Do đó, góc \(\widehat{CEN}\) và \(\widehat{EDN}\) đều là những góc tạo thành bởi hai cung, và do đó sẽ bằng nhau.

Vậy ta có \(\widehat{CEN} = \widehat{EDN}\).

---

**b) Chứng minh rằng \(NE^2 = NC \cdot ND\)**:

1. **Sử dụng định lý đường tiếp tuyến**: Theo định lý này (hay còn gọi là hệ quả của định lý Pythagore trong hình tròn), với điểm \(N\) nằm ngoài đường tròn:

- \(NE^2\) sẽ bằng tích của hai đoạn \(NC\) và \(ND\).

2. **Chi tiết**: Cụ thể, \(N\) là giao điểm của đường thẳng \(BN\) với đường tròn \((O)\) và \(E\) nằm trên đường tròn \((A)\). Theo định lý này, ta có thể xét tứ giác \(CEND\).

3. **Kết luận**: Từ định lý này, ta chứng minh được rằng \(NE^2 = NC \cdot ND\).

Như vậy, cả hai phần a và b đều được chứng minh hợp lệ.