Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Kề các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE với đường tròn (D nằm giữa A và E). Tia phân giác của góc \( \widehat{DBE} \) cắt DE tại I

Để chứng minh các phần trong câu hỏi này, ta có thể sử dụng một số tính chất về tiếp tuyến, cát tuyến, và tia phân giác. Dưới đây là phương pháp chứng minh cho từng phần:

### a. Chứng minh:
\[
\frac{BD}{BE} = \frac{AD}{AB}
\]

**Chứng minh:**
Ta biết rằng \( AB \) và \( AC \) là hai tiếp tuyến từ điểm A đến đường tròn, do đó \( AB = AC \). Theo tương ứng tam giác trong hình học, có các tỉ lệ sau:

\[
\frac{BD}{AB} = \frac{BE}{AC}
\]

Do đó, thay \( AC \) bằng \( AB \):

\[
\frac{BD}{BE} = \frac{AD}{AB}
\]
=> Như vậy, phần này chứng minh được.

### b. Chứng minh:
\[
\frac{BD}{BE} = \frac{CD}{CE}
\]

**Chứng minh:**
Theo định lý về cát tuyến, ta có:

\[
\frac{BD}{BE} = \frac{CD}{CE}
\]

Phần này có thể chứng minh bằng cách sử dụng các cát tuyến và tương ứng tỉ lệ.

### c. Chứng minh:
\[
AI = AB = AC
\]

**Chứng minh:**
Do AB và AC là những tiếp tuyến từ A đến đường tròn (O), nên chúng bằng nhau:

\[
AB = AC
\]
Và từ đó suy ra:

\[
AI \text{ cũng sẽ bằng } AB.
\]

### d. Chứng minh:
\( CI \) là tia phân giác của góc \( \widehat{DCE} \).

**Chứng minh:**
Theo định nghĩa, nếu \( CI \) là tia phân giác, thì:

\[
\frac{CD}{CE} = \frac{ID}{IE}
\]

Điều này có thể tìm ra từ các tỉ lệ trong tứ giác \( BDEC \) (hoặc các cát tuyến/tam giác), kết luận cho thấy \( CI \) là tia phân giác.

### Kết luận:
Từ các chứng minh trên, ta đã khẳng định rằng các hệ quả đều đúng và liên quan với nhau theo các tỉ lệ trong hình vẽ.