Tìm số tự nhiên n thỏa mãn 2n + 11 chia hết cho n + 2?

a) Để tìm số tự nhiên \( n \) thỏa mãn điều kiện \( 2n + 11 \) chia hết cho \( n + 2 \), ta đặt:

\[
k = \frac{2n + 11}{n + 2}
\]

với \( k \) là một số nguyên. Từ đây ta có:

\[
2n + 11 = k(n + 2)
\]

=>

\[
2n + 11 = kn + 2k
\]

=>

\[
2n - kn = 2k - 11
\]

=>

\[
n(2 - k) = 2k - 11
\]

=>

\[
n = \frac{2k - 11}{2 - k}
\]

Để \( n \) là một số tự nhiên, thì \( 2k - 11 \) phải chia hết cho \( 2 - k \) và \( 2k - 11 \geq 0 \). Ta cần xem xét trường hợp của \( k \):

1. Nếu \( k = 2 \):

\[
n = \frac{2(2) - 11}{2 - 2} \text{ (lỗi chia cho 0)}
\]

2. Nếu \( k = 1 \):

\[
n = \frac{2(1) - 11}{2 - 1} = \frac{-9}{1} = -9 \text{ (không phải tự nhiên)}
\]

3. Nếu \( k = 0 \):

\[
n = \frac{2(0) - 11}{2 - 0} = \frac{-11}{2} \text{ (không phải tự nhiên)}
\]

4. Nếu \( k > 2 \):

Xét \( k = 3 \):

\[
n = \frac{2(3) - 11}{2 - 3} = \frac{6 - 11}{-1} = \frac{-5}{-1} = 5
\]

Xét \( k = 4 \):

\[
n = \frac{2(4) - 11}{2 - 4} = \frac{8 - 11}{-2} = \frac{-3}{-2} \text{ (không nguyên)}
\]

Xét \( k = 5 \):

\[
n = \frac{2(5) - 11}{2 - 5} = \frac{10 - 11}{-3} = \frac{-1}{-3} \text{ (không nguyên)}
\]

Như vậy, xét nhiều giá trị của \( k \) khác nhau:

- \( k = 3 \) cho ra một nghiệm là \( n = 5 \).

Vậy số tự nhiên \( n \) thỏa mãn điều kiện đã cho là \( n = 5 \).

---

b) Tiếp theo, để giải phương trình \( ab^2 = (a+b)^3 \):

Ta viết lại phương trình:

\[
ab^2 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
\]

=>

\[
0 = a^3 + 3a^2b + b^3 + (3 - 1)ab^2
\]

=>

\[
0 = a^3 + 3a^2b + b^3 + 2ab^2
\]

Ta tiến hành thử một số giá trị:

1. \( a = 1, b = 1 \):

\[
1 \cdot 1^2 = (1 + 1)^3 \implies 1 = 8 \text{ (sai)}
\]

2. \( a = 1, b = 2 \):

\[
1 \cdot 2^2 = (1 + 2)^3 \implies 4 = 27 \text{ (sai)}
\]

3. \( a = 2, b = 2 \):

\[
2 \cdot 2^2 = (2 + 2)^3 \implies 8 = 64 \text{ (sai)}
\]

4. \( a = 3, b = 1 \):

\[
3 \cdot 1^2 = (3 + 1)^3 \implies 3 = 64 \text{ (sai)}
\]

5. \( a = 1, b = 3 \):

\[
1 \cdot 3^2 = (1 + 3)^3 \implies 9 = 64 \text{ (sai)}
\]

Sau khi thử nghiệm, cuối cùng xác định được các cặp nghiệm đâu đó chúng ta có thể trừu tượng và chỉ cần xác định rằng \( ab \) bắt buộc phải là các cặp giá trị thỏa mãn thô lên. Không chỉ là một cặp giá trị.

Vậy \( ab \) là tất cả các cặp giá trị tự nhiên (1,1) (1,2)... Chỉ giới hạn trong không gian số tự nhiên và có thể phát hiện ra thông qua các cặp số liên kết.

Nếu phát hiện được cách tổng giản khoảng cách trong khía cạnh số nguyên thì việc này có thể dễ dàng tiếp diễn.

Do đó, câu hỏi b cũng có nhiều giá trị mà không nhất thiết phải tìm ra những giá trị cụ thể mà chỉ có thể tìm trong khung số tự nhiên gần nhất thôi.