Cho AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tính độ dài BC và số đo B (Kết quả số đo góc làm tròn đến độ)

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

a) Trong tam giác vuông ABC, với AB = 6 cm, AC = 8 cm, ta cần tính độ dài BC và số đo góc B.

Theo định lý Pythagore, ta có:

\[
BC^2 = AC^2 - AB^2
\]

Thay số vào:

\[
BC^2 = 8^2 - 6^2 = 64 - 36 = 28
\]

Do đó, độ dài BC là:

\[
BC = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \approx 5.29 \text{ cm}
\]

Tiếp theo, để tính số đo góc B, ta sử dụng định nghĩa của sin, cos trong tam giác vuông:

\[
\sin B = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}
\]

Từ đó, ta có thể tính cos B:

\[
\cos B = \frac{BC}{AC} = \frac{BC}{8}
\]

Mà theo định lý Pythagore:

\[
\sin^2 B + \cos^2 B = 1
\]

Với \(\sin^2 B = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}\), ta tính cos B:

\[
\cos^2 B = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}
\]

Vậy:

\[
\cos B = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}
\]

Bây giờ ta sẽ tính số đo góc B. Sử dụng hàm lượng giác:

\[
B = \arcsin\left(\frac{3}{4}\right)
\]

Tính giá trị này khoảng:

\[
B \approx 48.59^\circ
\]

Khi làm tròn, ta được:

\[
B \approx 49^\circ
\]

Vậy ta có:

- Độ dài BC = \(5.29\) cm (hoặc \(2\sqrt{7}\) cm)
- Số đo góc B = \(49^\circ\)

b) Để chứng minh \(\triangle AAMB\) đồng dạng \(\triangle AIMA\):

- Gọi M là trung điểm của AC, tức là \(AM = MC\).
- Gọi I là hình chiếu của A lên đường thẳng BM.

Xét các tam giác:

1. Trong \(\triangle AAMB\):
- \(AM = AM\) (đối diện ở M).
- Cả 2 tam giác này đều có góc AMB.
- Ta có \(\angle AAB = \angle AIA\) vì chúng là cùng một góc.

Vậy theo tiêu chí đồng dạng góc-góc (AA), ta có:

\(\triangle AAMB \sim \triangle AIMA\).

Từ đó, ta suy ra theo quy tắc tỉ lệ trong tam giác đồng dạng:

\[
\frac{AM}{AI} = \frac{AB}{IM}
\]

Hoặc có thể viết lại:

\[
\sin^2 ABM = \frac{IM}{BM}
\]

Do đó ta có:

\[
\sin^2 ABM = \frac{IM}{BM}.
\]

Vậy ta đã chứng minh thành công 2 phần của bài toán.