Để xác định khoảng thời gian chất điểm chuyển động đi xuống, ta cần xét đạo hàm của hàm cao độ \( h(t) \) để tìm các điểm cực trị. Từ đó, ta xét dấu của đạo hàm để xác định khoảng thời gian chuyển động đi xuống.

### Bước 1: Tính đạo hàm của \( h(t) \)
Hàm cao độ được cho bởi:
\[
h(t) = -\frac{1}{3}t^3 + 4t^2 + 12t + 1
\]

Tính đạo hàm \( h'(t) \):
\[
h'(t) = -t^2 + 8t + 12
\]

### Bước 2: Giải phương trình \( h'(t) = 0 \)
Tìm nghiệm của phương trình:
\[
-t^2 + 8t + 12 = 0
\]
Sắp xếp lại:
\[
t^2 - 8t - 12 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm:
\[
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 48}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{112}}{2}
\]
Giản ước:
\[
\sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}
\]
Vậy:
\[
t = \frac{8 \pm 4\sqrt{7}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{7}
\]

### Bước 3: Tính giá trị cụ thể
Tính giá trị gần đúng của \( \sqrt{7} \):
\[
\sqrt{7} \approx 2.64575 \Rightarrow 2\sqrt{7} \approx 5.2915
\]
Do đó,
\[
t_1 \approx 4 - 5.2915 \approx -1.2915 \quad (\text{không hợp lệ, } t \geq 0)
\]
\[
t_2 \approx 4 + 5.2915 \approx 9.2915 \quad (\text{không hợp lệ, } t \leq 8)
\]

### Bước 4: Kiểm tra dấu của \( h'(t) \)
Ta cần tính giá trị của \( h'(t) \) trong các khoảng \([0, t_1]\), \([t_1, t_2]\) và \([t_2, 8]\).

1. **Trong khoảng \( t \in [0, t_1] \)**:
Chọn \( t = 0 \):
\[
h'(0) = 12 > 0 \quad (\text{tăng})
\]

2. **Trong khoảng \( t \in (t_1, t_2) \)**:
Do không có nghiệm nằm trong khoảng này, ta chỉ cần xét \( t = 8 \):
\[
h'(8) = -64 + 64 + 12 = 12 > 0 \quad (\text{tăng})
\]

3. **Trong đoạn xác định trên**:
Phân tích sâu thì \( h'(t) \) có thể thay đổi chiều tại các điểm trong khoảng tiềm năng.

### Kết luận về chuyển động đi xuống
Chất điểm sẽ đi xuống từ \( t_1 \approx 4 - 2\sqrt{7} \) đến \( t_2 \approx 4 + 2\sqrt{7} \).
Dễ dàng thấy rằng:
\[
b - a = t_2 - t_1 = (4 + 2\sqrt{7}) - (4 - 2\sqrt{7}) = 4\sqrt{7}
\]

### Kết quả
Do đó:
\[
b - a \approx 4 \cdot 2.64575 = 10.583
\]
Chất điểm chuyển động đi xuống trong khoảng thời gian tương ứng với giá trị này.