Để xác định điều kiện thẳng hàng của ba điểm \( A(2, 5, 3) \), \( B(3, 7, 4) \) và \( C(x, y, 6) \), ta sử dụng định nghĩa về vector. Ba điểm thẳng hàng khi vector \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AC} \) cùng phương.

Tính vector \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AC} \):

\[
\overrightarrow{AB} = B - A = (3 - 2, 7 - 5, 4 - 3) = (1, 2, 1)
\]

\[
\overrightarrow{AC} = C - A = (x - 2, y - 5, 6 - 3) = (x - 2, y - 5, 3)
\]

Hai vector \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AC} \) cùng phương nếu tồn tại số \( k \) sao cho:

\[
\overrightarrow{AC} = k \cdot \overrightarrow{AB}
\]

Điều này dẫn đến hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
x - 2 = k \cdot 1\\
y - 5 = k \cdot 2\\
3 = k \cdot 1
\end{cases}
\]

Giải phương trình thứ ba:

\[
k = 3
\]

Thay \( k = 3 \) vào hai phương trình còn lại:

1. \( x - 2 = 3 \Rightarrow x = 5 \)
2. \( y - 5 = 3 \cdot 2 \Rightarrow y - 5 = 6 \Rightarrow y = 11 \)

Vậy \( x = 5 \) và \( y = 11 \).

Cuối cùng, tính \( x + y \):

\[
x + y = 5 + 11 = 16
\]

**Kết luận:** \( x + y = 16 \).