Để giải các bài toán trên, ta sử dụng một số kiến thức về số học, đặc biệt là về ước số, bội số và cách tìm các cặp số tự nhiên dựa trên điều kiện đã cho.

### Bài 1:

#### a) Tìm hai số tự nhiên biết tích của chúng bằng 75 và ước chung lớn nhất bằng 5.

Để tìm hai số a và b, ta có các bước như sau:

1. Gọi hai số a và b.
2. Theo đề bài:
- Tích: \( a \times b = 75 \)
- ƯCLN: \( \text{ƯCLN}(a, b) = 5 \)

3. Do \( \text{ƯCLN}(a, b) = 5 \), chúng ta có thể viết \( a = 5m \) và \( b = 5n \) với \( \text{ƯCLN}(m, n) = 1 \).
4. Từ \( a \times b = 75 \), ta có:

\[
(5m) \times (5n) = 75 \implies 25mn = 75 \implies mn = 3
\]

5. Các cặp số nguyên dương \( (m, n) \) thoả mãn \( mn = 3 \) và \( \text{ƯCLN}(m, n) = 1 \) là \( (1, 3) \) và \( (3, 1) \).
6. Từ đó, ta tính được cặp số:

- Nếu \( m = 1, n = 3: a = 5 \times 1 = 5, b = 5 \times 3 = 15 \)
- Nếu \( m = 3, n = 1: a = 5 \times 3 = 15, b = 5 \times 1 = 5 \)

Vậy hai số là \( 5 \) và \( 15 \).

#### b) Tìm hai số tự nhiên biết tích của chúng bằng 432 và ước chung lớn nhất bằng 6.

Tương tự:

1. Gọi \( a \) và \( b \).
2. Theo đề bài:
- Tích: \( a \times b = 432 \)
- ƯCLN: \( \text{ƯCLN}(a, b) = 6 \)

3. Viết \( a = 6m \) và \( b = 6n \) với \( \text{ƯCLN}(m, n) = 1 \).
4. Có:

\[
(6m) \times (6n) = 432 \implies 36mn = 432 \implies mn = 12
\]

5. Các cặp số nguyên dương \( (m, n) \) thỏa mãn \( mn = 12 \) và \( \text{ƯCLN}(m, n) = 1 \) là \( (3, 4) \) và \( (4, 3) \).
6. Từ đó, ta có:

- Nếu \( m = 3, n = 4: a = 6 \times 3 = 18, b = 6 \times 4 = 24 \)
- Nếu \( m = 4, n = 3: a = 6 \times 4 = 24, b = 6 \times 3 = 18 \)

Vậy hai số là \( 18 \) và \( 24 \).

#### c) Tìm hai số tự nhiên biết tích của chúng bằng 864 và ước chung của chúng bằng 6.

Tương tự làm như trên:

1. Gọi \( a \) và \( b \).
2. Theo đề bài:
- Tích: \( a \times b = 864 \)
- ƯCLN: \( \text{ƯCLN}(a, b) = 6 \)

3. Viết \( a = 6m \) và \( b = 6n \) với \( \text{ƯCLN}(m, n) = 1 \).
4. Có:

\[
(6m) \times (6n) = 864 \implies 36mn = 864 \implies mn = 24
\]

5. Các cặp số nguyên dương \( (m, n) \) thỏa mãn \( mn = 24 \) và \( \text{ƯCLN}(m, n) = 1 \) là \( (3, 8), (8, 3) \).
6. Tính được:

- Nếu \( m = 3, n = 8: a = 6 \times 3 = 18, b = 6 \times 8 = 48 \)
- Nếu \( m = 8, n = 3: a = 6 \times 8 = 48, b = 6 \times 3 = 18 \)

Vậy hai số là \( 18 \) và \( 48 \).

### Bài 2:

Tìm \( a, b \) thuộc \( N^* \) biết \( a+b=144 \) và \( \text{ƯCLN}(a, b) = 48 \).

1. Do \( \text{ƯCLN}(a, b) = 48 \), ta có thể viết \( a = 48m \) và \( b = 48n \) với \( \text{ƯCLN}(m, n) = 1 \).

2. Theo phương trình \( a + b = 144 \):

\[
48m + 48n = 144 \implies m + n = 3
\]

3. Các cặp \( (m, n) \) thoả mãn \( m + n = 3 \) và \( \text{ƯCLN}(m, n) = 1 \) là \( (1, 2) \) và \( (2, 1) \).

4. Từ đó ta có:

- Nếu \( m = 1, n = 2: a = 48 \times 1 = 48, b = 48 \times 2 = 96 \)
- Nếu \( m = 2, n = 1: a = 48 \times 2 = 96, b = 48 \times 1 = 48 \)

Vậy \( a \) và \( b \) là \( 48 \) và \( 96 \) (hoặc ngược lại).

Tóm lại, kết quả của các bài là:
- Bài 1:
- a: \( 5 \) và \( 15 \)
- b: \( 18 \) và \( 24 \)
- c: \( 18 \) và \( 48 \)

- Bài 2: \( 48 \) và \( 96 \) (hoặc ngược lại).