Tìm a, b thuộc N*, biết a + b = 144 và ƯCLN(a; b) = 48

Chúng ta sẽ giải các bài toán này từng bước một.

### Bài 1
#### a) Tìm hai số tự nhiên biết tích của chúng bằng 75 và ước chung lớn nhất bằng 5

Gọi hai số cần tìm là \(x\) và \(y\).
Theo đề bài:
- Tích của chúng: \(x \cdot y = 75\)
- ƯCLN(x, y) = 5

Sử dụng định lý ƯCLN và Bội số chung nhỏ nhất (BCNN), ta có:
\[
x \cdot y = ƯCLN(x, y) \cdot BCNN(x, y)
\]

Đặt \(x = 5m\) và \(y = 5n\), trong đó \(m\) và \(n\) là hai số nguyên dương không có ước chung nào khác ngoài 1 (tức là \(ƯCLN(m, n) = 1\)).

Thay vào phương trình tích ta có:
\[
(5m)(5n) = 75 \quad \Rightarrow \quad 25mn = 75 \quad \Rightarrow \quad mn = 3
\]

Các cặp(a, b) mà thỏa mãn \(mn = 3\) là:
- \(m = 1, n = 3\) → \(x = 5 \cdot 1 = 5, y = 5 \cdot 3 = 15\)
- \(m = 3, n = 1\) → \(x = 5 \cdot 3 = 15, y = 5 \cdot 1 = 5\)

Vậy hai số là \(5\) và \(15\).

#### b) Tìm hai số tự nhiên biết tích của chúng bằng 432 và ước chung lớn nhất bằng 6

Gọi hai số cần tìm là \(x\) và \(y\).
Theo đề bài:
- Tích của chúng: \(x \cdot y = 432\)
- ƯCLN(x, y) = 6

Tương tự ta có thể đặt \(x = 6m\) và \(y = 6n\). Khi đó:
\[
(6m)(6n) = 432 \quad \Rightarrow \quad 36mn = 432 \quad \Rightarrow \quad mn = 12
\]

Các cặp(a,b) mà thỏa mãn \(mn = 12\) là:
- \(m = 1, n = 12\) → \(x = 6 \cdot 1 = 6, y = 6 \cdot 12 = 72\)
- \(m = 2, n = 6\) → \(x = 6 \cdot 2 = 12, y = 6 \cdot 6 = 36\)
- \(m = 3, n = 4\) → \(x = 6 \cdot 3 = 18, y = 6 \cdot 4 = 24\)

Các cặp số thỏa mãn là:
- \(6\) và \(72\)
- \(12\) và \(36\)
- \(18\) và \(24\)

#### c) Tìm hai số tự nhiên biết tích của chúng bằng 864 và ước chung của chúng bằng 6

Gọi hai số cần tìm là \(x\) và \(y\).
Theo đề bài:
- Tích của chúng: \(x \cdot y = 864\)
- ƯCLN(x, y) = 6

Tương tự ta có thể đặt \(x = 6m\) và \(y = 6n\). Khi đó:
\[
(6m)(6n) = 864 \quad \Rightarrow \quad 36mn = 864 \quad \Rightarrow \quad mn = 24
\]

Các cặp(a,b) mà thỏa mãn \(mn = 24\) là:
- \(m = 1, n = 24\) → \(x = 6 \cdot 1 = 6, y = 6 \cdot 24 = 144\)
- \(m = 2, n = 12\) → \(x = 6 \cdot 2 = 12, y = 6 \cdot 12 = 72\)
- \(m = 3, n = 8\) → \(x = 6 \cdot 3 = 18, y = 6 \cdot 8 = 48\)
- \(m = 4, n = 6\) → \(x = 6 \cdot 4 = 24, y = 6 \cdot 6 = 36\)

Các cặp số thỏa mãn là:
- \(6\) và \(144\)
- \(12\) và \(72\)
- \(18\) và \(48\)
- \(24\) và \(36\)

### Bài 2
Tìm a, b thuộc N*, biết \(a + b = 144\) và \(ƯCLN(a, b) = 48\).

Gọi \(a = 48m\) và \(b = 48n\), với \(ƯCLN(m, n) = 1\). Khi đó:
\[
a + b = 48m + 48n = 144 \quad \Rightarrow \quad 48(m + n) = 144 \quad \Rightarrow \quad m + n = 3
\]

Vì \(m\) và \(n\) là các số nguyên dương và không có ước chung nào khác thì ta có thể chọn các cặp:
- \(m = 1, n = 2\) → \(a = 48 \cdot 1 = 48, b = 48 \cdot 2 = 96\)
- \(m = 2, n = 1\) → \(a = 48 \cdot 2 = 96, b = 48 \cdot 1 = 48\)

Vậy hai số cần tìm là \(48\) và \(96\).