Để chứng minh bất đẳng thức \( 2x^2 + y^2 - xy - 3x - y + 2 \geq 0 \), ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Xác định dạng biểu thức**:
Chúng ta cần phân tích biểu thức thành các phần có thể dễ dàng đánh giá hơn.

2. **Sử dụng hoàn thành bình phương**:
- Thay đổi biểu thức để dễ dàng xác định giá trị nhỏ nhất.

Bắt đầu với các phần liên quan đến \( x \) và \( y \):

\[
2x^2 - xy - 3x + y^2 - y + 2
\]

3. **Tìm giá trị nhỏ nhất**:
Ta có thể thử thay \( y \) bằng một giá trị cụ thể, ví dụ \( y = kx \) (với \( k \) là hằng số), rồi từ đó xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức theo \( x \).

4. **Xét một số trường hợp**:
Thay các giá trị khác nhau cho \( x \) và \( y \) để kiểm tra bất đẳng thức.

5. **Sử dụng đạo hàm (nếu cần thiết)**:
Nếu cần, ta có thể sử dụng đạo hàm để tìm các điểm cực trị.

6. **Giải nghiệm cụ thể**:
Xét với một số giá trị của \( x \) và \( y \) như sau:
- Đặt \( x = 1, y = 0 \): Thay vào biểu thức và kiểm tra giá trị.
- Đặt \( x = 0, y = 1 \): Tương tự xác định giá trị.

Kết hợp các phương pháp trên, ta sẽ có thể chứng minh rằng biểu thức luôn không âm với mọi giá trị của \( x \) và \( y \).

Cuối cùng, nếu biểu thức không âm với mọi giá trị của \( x \) và \( y \), thì ta đã chứng minh thành công bất đẳng thức.