Để tìm số nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện chia hết cho 3, 5, 7 với các số dư lần lượt là 2, 3, 4, ta có thể sử dụng phương pháp tìm số theo hệ phương trình đồng dư.

Ta cần tìm số \( x \) thỏa mãn:

\[
\begin{cases}
x \equiv 2 \, (\text{mod} \, 3) \\
x \equiv 3 \, (\text{mod} \, 5) \\
x \equiv 4 \, (\text{mod} \, 7)
\end{cases}
\]

Bước 1: Từ điều kiện thứ nhất, ta có thể viết lại \( x \) như sau:

\[
x = 3k + 2 \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Bước 2: Thay \( x \) vào điều kiện thứ hai:

\[
3k + 2 \equiv 3 \, (\text{mod} \, 5) \implies 3k \equiv 1 \, (\text{mod} \, 5)
\]

Tính ngược điều này, ta thử các giá trị của \( k \):

- Nếu \( k = 0 \): \( 3 \cdot 0 \equiv 0 \)
- Nếu \( k = 1 \): \( 3 \cdot 1 \equiv 3 \)
- Nếu \( k = 2 \): \( 3 \cdot 2 \equiv 1 \, (\text{ đúng}) \)

Vậy \( k \equiv 2 \, (\text{mod} \, 5) \) hay \( k = 5m + 2 \). Thay vào biểu thức cho \( x \):

\[
x = 3(5m + 2) + 2 = 15m + 6 + 2 = 15m + 8
\]

Bước 3: Thay \( x \) vào điều kiện thứ ba:

\[
15m + 8 \equiv 4 \, (\text{mod} \, 7)
\]

Giải phương trình:

\[
15m \equiv -4 + 7 = 3 \, (\text{mod} \, 7) \implies 1m \equiv 3 \, (\text{mod} \, 7) \implies m \equiv 3 \, (\text{mod} \, 7)
\]

Tức là \( m = 7n + 3 \) với \( n \in \mathbb{Z} \). Thay lại vào \( x \):

\[
x = 15(7n + 3) + 8 = 105n + 45 + 8 = 105n + 53
\]

Như vậy, số nhỏ nhất thỏa mãn là khi \( n = 0 \):

\[
x = 53
\]

Vậy số nhỏ nhất mà bạn Ngọc nghĩ ra là **53**.