Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh

Để chứng minh công thức tính diện tích của tam giác \(ABC\) nhọn với các cạnh \(AB\), \(BC\), \(CA\) và các góc tương ứng \(A\), \(B\), \(C\), ta sử dụng công thức tính diện tích tam giác theo cạnh và góc.

1. **Diện tích tam giác** được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C
\]
Trong đó \(a\) và \(b\) là các cạnh kề nhau, còn \(C\) là góc chắn bởi hai cạnh đó.

2. **Áp dụng cho tam giác \(ABC\)**:
- Khi chọn \(BA\) và \(BC\) làm hai cạnh kề nhau, với góc \(C\):
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BA \cdot BC \cdot \sin C
\]
- Khi chọn \(AB\) và \(AC\) làm hai cạnh kề nhau, với góc \(B\):
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin B
\]
- Khi chọn \(CA\) và \(CB\) làm hai cạnh kề nhau, với góc \(A\):
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot CA \cdot CB \cdot \sin A
\]

3. Vì 3 biểu thức này đều mô tả cùng một diện tích của tam giác \(ABC\), ta có thể viết:
\[
\frac{1}{2} \cdot BA \cdot BC \cdot \sin C = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot CA \cdot CB \cdot \sin A
\]

4. Kết luận rằng:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BA \cdot BC \cdot \sin C = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot CA \cdot CB \cdot \sin A
\]
Như vậy, ta đã chứng minh được rằng:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BA \cdot BC \cdot \sin C = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot CA \cdot CB \cdot \sin A
\]