Tính: H = \(\frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \frac{4}{3^4} + \ldots + \frac{2017}{3^{2017}}\)

Để tính giá trị của \( H = \sum_{n=1}^{2017} \frac{n}{3^n} \), chúng ta có thể sử dụng một kỹ thuật liên quan đến chuỗi số học và chuỗi hình học.

Ta bắt đầu bằng cách xét hàm số sau:

\[
S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{x^n}
\]

Dễ dàng chứng minh rằng:

\[
S = \frac{x}{(x-1)^2} \quad (với \ |x| > 1)
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ cụ thể hóa \( x = 3 \):

\[
S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n} = \frac{3}{(3-1)^2} = \frac{3}{4} = \frac{3}{4}
\]

Tuy nhiên, chúng ta chỉ cần tính tổng từ 1 đến 2017, do đó chúng ta cần trừ đi các thành phần từ 2018 đến vô cùng:

\[
H = S - \sum_{n=2018}^{\infty} \frac{n}{3^n}
\]

Tổng từ 2018 đến vô cùng có thể được tính như sau. Gọi \( T = \sum_{n=2018}^{\infty} \frac{n}{3^n} \).

Chú ý rằng:

\[
T = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+2018)}{3^{n+2018}} = \frac{1}{3^{2018}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+2018)}{3^n}
\]

\[
= \frac{1}{3^{2018}} \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{3^n} + 2018 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3^n} \right)
\]

Biết rằng:

\[
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3^n} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2} \quad \text{và} \quad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{3^n} = \frac{3}{4}
\]

Do đó,

\[
T = \frac{1}{3^{2018}} \left( \frac{3}{4} + 2018 \cdot \frac{3}{2} \right)
\]
\[
= \frac{1}{3^{2018}} \left( \frac{3}{4} + 3027 \right) = \frac{1}{3^{2018}} \cdot \frac{3 + 12108}{4} = \frac{12111}{4 \cdot 3^{2018}}
\]

Cuối cùng, ta có:

\[
H = \frac{3}{4} - \frac{12111}{4 \cdot 3^{2018}}
\]

Tiến hành ước tính giá trị của \( H \):

\[
H = \frac{3 \cdot 3^{2018} - 12111}{4 \cdot 3^{2018}} = \frac{3^{2019} - 12111}{4 \cdot 3^{2018}}
\]

Như vậy, giá trị cuối cùng của \( H \) là:

\[
H = \frac{3^{2019} - 12111}{4 \cdot 3^{2018}}
\]