Để tìm điều kiện xác định của các biểu thức toán học, bạn cần xem xét các thành phần trong các biểu thức này.

1. **a)** \(\frac{3x + 1}{\sqrt{x - 1}}\)
- Điều kiện: \(x - 1 > 0 \implies x > 1\).

2. **b)** \(\frac{1}{\sqrt{3 - x}}\)
- Điều kiện: \(3 - x > 0 \implies x < 3\).

3. **c)** \(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 4x + 4}}\)
- Điều kiện: \(x^2 + 4x + 4 \neq 0\). Ta có \(x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2\) nên \(x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2\).

4. **d)** \(\sqrt{4 - x^2 + 2x - 3}\)
- Điều kiện: \(4 - x^2 + 2x - 3 \geq 0 \implies -x^2 + 2x + 1 \geq 0\).
- Phân tích: \( -(x^2 - 2x - 1) \geq 0\).
- Tìm nghiệm và xét dấu.

5. **e)** \(\frac{1}{\sqrt{x - 2}}\)
- Điều kiện: \(x - 2 > 0 \implies x > 2\).

6. **f)** \(\frac{1}{\ln(x)}\)
- Điều kiện: \(x > 0\) và \(x \neq 1\) (bởi vì \(\ln(1) = 0\)).

Sau khi xét các điều kiện trên, bạn có thể tổng hợp điều kiện xác định cho từng trường hợp trong bài toán.