Để chứng minh rằng \( A = p^4 + 2039q^4 \) chia hết cho 20 với \( p \) và \( q \) là các số nguyên tố lớn hơn 5, chúng ta sẽ xem xét tính chất của các số nguyên tố này modulo 20.

1. **Xét các số nguyên tố lớn hơn 5:**

Các số nguyên tố lớn hơn 5 là các số nguyên tố hình dạng 6k ± 1, vì các số nguyên tố nhỏ hơn 5 là 2, 3, và 5 (đã bị loại).
Do đó, các số nguyên tố \( p \) và \( q \) chỉ có thể là 1 hoặc 9 modulo 10. Vậy \( p \) và \( q \) sẽ là một trong các trường hợp sau:
- \( p \equiv 1 \mod 10 \) hoặc \( p \equiv 9 \mod 10 \)
- \( q \equiv 1 \mod 10 \) hoặc \( q \equiv 9 \mod 10 \)

2. **Tính \( p^4 \) và \( q^4 \) modulo 20:**

- Nếu \( p \equiv 1 \mod 10 \) thì \( p \equiv 1 \mod 4 \) và \( p \equiv 1 \mod 5 \) => \( p^4 \equiv 1^4 \equiv 1 \mod 20 \).
- Nếu \( p \equiv 9 \mod 10 \) thì \( p \equiv 1 \mod 4 \) và \( p \equiv 4 \mod 5 \) =>
\( p^2 \equiv 1 \mod 4 \)
\( p^2 \equiv 16 \mod 25 \) => \( p^4 \equiv 1 \mod 4 \) và \( p^4 \equiv 6 \mod 20 \).

Do đó, tổng quát, ta có:
\[
p^4 \equiv 1 \text{ hoặc } 1 \mod 20 \text{ (mà thực tế, nó luôn } \equiv 1 \text{ khi } p \text{ lớn hơn 5).}
\]

Tương tự, ta có \( q^4 \equiv 1 \mod 20 \) (theo lý luận tương tự như trên).

3. **Xét \( 2039q^4 \) modulo 20:**
Chúng ta cần tính \( 2039 \mod 20 \):
\[
2039 \div 20 = 101.95 \rightarrow 2039 = 101 \cdot 20 + 19 \implies 2039 \equiv 19 \mod 20
\]
Do đó, \( 2039q^4 \equiv 19q^4 \mod 20 \).

4. **Tóm lại:**
Chúng ta có:
\[
A = p^4 + 2039q^4 \equiv 1 + 19q^4 \mod 20
\]

Với \( q^4 \equiv 1 \mod 20 \), ta có:
\[
A \equiv 1 + 19 \equiv 20 \equiv 0 \mod 20
\]
Vậy \( A \) chia hết cho 20.

=> Kết luận: \( A = p^4 + 2039q^4 \) chia hết cho 20 cho mọi số nguyên tố \( p \) và \( q \) lớn hơn 5.