Để tính diện tích tam giác ABC, ta sử dụng công thức diện tích tam giác:

\[
S = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{chiều cao}
\]

Trong trường hợp này, đáy là \(BC = 30 \, \text{cm}\) và chiều cao \(AH\) được tính như sau:

\[
AH = \frac{2}{3} \times BC = \frac{2}{3} \times 30 = 20 \, \text{cm}
\]

Áp dụng vào công thức diện tích:

\[
S = \frac{1}{2} \times 30 \times 20 = \frac{600}{2} = 300 \, \text{cm}^2
\]

Vậy diện tích tam giác ABC là:

\[
S_{ABC} = 300 \, \text{cm}^2
\]

### b) Tính độ dài đoạn CM

Để tìm đoạn \(CM\) biết diện tích tam giác \(ACM\) bằng \(\frac{1}{5}\) diện tích tam giác \(ABC\):

\[
S_{ACM} = \frac{1}{5} \times S_{ABC} = \frac{1}{5} \times 300 = 60 \, \text{cm}^2
\]

Sử dụng công thức diện tích cho tam giác \(ACM\):

\[
S_{ACM} = \frac{1}{2} \times AC \times HM
\]

Với \(HM\) là chiều cao từ A xuống CM. Chiều cao \(AH\) vẫn giữ nguyên là \(20 \, \text{cm}\), do đó \(HM\) có độ dài bằng \(AH\) trong trường hợp này.

Giả sử \(x\) là độ dài đoạn \(CM\):

\[
60 = \frac{1}{2} \times x \times 20
\]
\[
60 = 10x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{60}{10} = 6 \, \text{cm}
\]

Vậy độ dài đoạn \(CM\) là \(6 \, \text{cm}\).