Cho góc a thỏa mãn pi/2 < a < 2pi và cot(a+pi/3) = -căn3. Tính giá trị biểu thức P = sin(a+pi/6)+cos a

Để giải bài toán này, chúng ta bắt đầu từ điều kiện đã cho:

1. **Điều kiện cot(a + π/3) = -√3**:
Ta biết rằng \( \cot(x) = -√3 \) khi \( x \) nằm trong góc thứ hai hoặc góc thứ tư, tức là \( x = \frac{5\pi}{6} + k\pi \), với \( k \) là một số nguyên.
Vì \( \cot x = \frac{1}{\tan x} \) và \( \tan x = -\frac{1}{√3} \), nên \( x \) có thể viết dưới dạng \( \frac{5\pi}{6} + k\pi \).

Ta có:
\( a + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + k\pi \)

Bây giờ, giải phương trình này cho \( a \):
\( a = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + k\pi = \frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + k\pi = \frac{3\pi}{6} + k\pi = \frac{\pi}{2} + k\pi \)

Do \( \frac{\pi}{2} < a < 2\pi \), ta xem xét giá trị cho \( k \):

- Khi \( k = 0 \): \( a = \frac{\pi}{2} \) (không thỏa mãn điều kiện)
- Khi \( k = 1 \): \( a = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} \) (thỏa mãn)

Do đó, \( a = \frac{3\pi}{2} \).

2. **Tính giá trị biểu thức P = sin(a + π/6) + cos(a)**:
Ta sẽ tính từng phần trong biểu thức \( P \):

**Tính \( \sin(a + \frac{\pi}{6}) \)**:
\[
\sin\left(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \frac{1\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{9\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6}\right)
\]
Ta biết rằng \( \frac{3\pi}{2} \) tương ứng với \( -1 \), và thêm \( \frac{\pi}{6} \) vào, ta có:
\[
\sin\left(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{9\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}
\]

**Tính \( \cos(a) \)**:
\[
\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0
\]

**Tính P**:
\[
P = \sin(a + \pi/6) + \cos(a) = -\frac{1}{2} + 0 = -\frac{1}{2}
\]

Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là:
\[
\boxed{-\frac{1}{2}}
\]