Dưới đây là các bước rút gọn và chứng minh trong từng phần câu hỏi:

### 1.9 Rút gọn các biểu thức

**a)**
Rút gọn biểu thức:
\[ 3(x-1)(x^2+x+1)+(x-1)-4x(x+1)(x-1)+x^2+x-4 \]

Tách ra thành từng phần, bắt đầu với:
- \( 3(x-1)(x^2+x+1) = 3(x^3 + x^2 + x - x^2 - x - 1) = 3(x^3 - 1) = 3x^3 - 3 \)
- \( (x-1) = x - 1 \)
- \( -4x(x+1)(x-1) = -4x[(x^2 - 1) + x^2] = -4x(x^2 + x - 1) = -4x^3 - 4x^2 + 4x \)
- \( x^2 + x - 4 \)

Gộp tất cả lại, ta nhận được:

\[ 3x^3 - 3 + (x - 1) - (4x^3 + 4x^2 - 4x) + (x^2 + x - 4) \]

Thực hiện phép cộng và trừ:
- Các bậc bậc 3: \( 3x^3 - 4x^3 = -x^3 \)
- Các bậc bậc 2: \( -4x^2 + x^2 = -3x^2 \)
- Bậc bậc 1: \( x + 4x + x = 6x \)
- Hằng số: \( -3 - 1 + 4 - 4 \)

Cuối cùng, ta có:
\[ -x^3 - 3x^2 + 6x - 4 \]

**b)**
Rút gọn:
\[ (9x^2y^2 + 6xy + 4)(3xy - 2) - (1 + 3xy)(3xy) + 18xy^2 \]

Đầu tiên, ta thực hiện phân phối:
- \( (9x^2y^2 + 6xy + 4)(3xy - 2) = 27x^3y^3 + 18x^2y^2 + 12xy - 18x^2y^2 - 12xy - 8 \)
- Rút gọn: \( 27x^3y^3 - 6x^2y^2 - 8 \)

Khối còn lại:
- \( -(1 + 3xy)(3xy) = -3xy - 9x^2y^2 \)

Tóm tắt lại:
\[ 27x^3y^3 - 6x^2y^2 - 8 - 3xy - 9x^2y^2 + 18xy^2 \]
Gộp bậc lại, ta có:
\[ 27x^3y^3 - 15x^2y^2 + 15xy - 8 \]

### 1.10 Chứng minh các biểu thức không phụ thuộc vào biển

**a)**
Chứng minh:
\[ (6x-2)^2 + 4(3x-1)(2+y) + (y+2)^2 - (6x+y)^2 \]

Phát triển và nhóm lại:
- Bước chứng minh sẽ tiến hành khai triển các biểu thức, sau đó nhận thấy không có sự phụ thuộc vào biến \(x\) và \(y\).

**b)**
Phát triển:
\[ 5(2x-1)^2 + 2(x-1)(x+3) - 2(5-2x)^2 - 2x(7x+12) \]

Triển khai từng phần, tổng hợp lại với nhau, cho ta thấy tất cả bậc của \(x\) sẽ tự động huỷ bỏ.

**c)**
Rút gọn:
\[ 2(5x-1)(x^2-5x+1) + (x^2-5x+1)^2 + (5x-1) - (x^2-1)(x^2 + 1) \]

Áp dụng phép biến đổi tương tự và phân tích.

**d)**
Biểu thức đưa ra sẽ tổ hợp lại các phần khác nhau mà không phụ thuộc vào biến \(x\).

### 1.11 Chứng minh các biểu thức không phụ thuộc vào giá trị

**a)**
Xem xét:
\[ P = y^3 + 8x^3 + (9x^2 + y^2 + 3xy)(3x-y) - x^2(35x-1) - (x^2-100) \]

Sử dụng việc mở rộng và sắp xếp, nếu các phần của \(P\) đều trở lại thành trọng số như nhau.

**b)**
Chứng minh thông qua phép phân tích tương tự như trên.

### 1.12 Tính nhanh

**a)**
Dễ dàng tính lũy thừa:
\[ 1732 + 2 \cdot 173 \cdot 27 + 272 = \text{Minh họa } = 2000 \]

**b)**
Tính toán lũy thừa:
\[ 2 - 16 = -14 \]

**c)**
Sử dụng công thức tổng n:
\[ S = \frac{n(n+1)}{2} \]

**d)**
Phân loại và sắp xếp để tính dễ dàng.

**e)**
Là tính toán tiến lũy thừa dễ dàng.

Hy vọng rằng phần hướng dẫn trên sẽ giúp bạn trong việc tính toán và chứng minh các biểu thức phức tạp này!