Để tìm \( n \) thuộc \( \mathbb{N} \) sao cho \( (n+5)(n+3) \) là số nguyên tố, đầu tiên, chúng ta có thể khai triển biểu thức này:

\[
(n+5)(n+3) = n^2 + 8n + 15
\]

Một số điều quan trọng cần nhớ là số nguyên tố lớn hơn 1 và có đúng hai ước số, 1 và chính nó.

Vì \( (n+5)(n+3) \) là tích của hai số, mỗi số trong tích này phải lớn hơn hoặc bằng 1 khi n là số tự nhiên. Cụ thể:

- \( n + 5 \geq 5 \)
- \( n + 3 \geq 3 \)

Vì vậy mà \( (n + 5)(n + 3) \) sẽ lớn hơn hoặc bằng 15 khi \( n \) là số tự nhiên. Do đó, để \( (n + 5)(n + 3) \) là số nguyên tố, một trong hai số \( n + 5 \) hoặc \( n + 3 \) phải bằng 1 vì số 1 chỉ có một ước số (cùng đó là 1).

Ta xét các trường hợp sau:

1. **Trường hợp 1**: \( n + 5 = 1 \)

\[
n + 5 = 1 \implies n = -4
\]

Giá trị này không thuộc \( \mathbb{N} \) (tự nhiên).

2. **Trường hợp 2**: \( n + 3 = 1 \)

\[
n + 3 = 1 \implies n = -2
\]

Giá trị này cũng không thuộc \( \mathbb{N} \).

Bây giờ, ta xét trường hợp mà cả hai số \( n + 5 \) và \( n + 3 \) đều lớn hơn 1. Do đó sẽ không thể có được tích là số nguyên tố. Vậy nên, để tiếp tục, chúng ta sẽ kiểm tra các giá trị của \( n \) thuộc \( \mathbb{N} \) từ 0 trở lên:

- Với \( n = 0 \):

\[
(0 + 5)(0 + 3) = 5 \cdot 3 = 15 \quad (\text{số này không phải là số nguyên tố})
\]

- Với \( n = 1 \):

\[
(1 + 5)(1 + 3) = 6 \cdot 4 = 24 \quad (\text{số này không phải là số nguyên tố})
\]

- Với \( n = 2 \):

\[
(2 + 5)(2 + 3) = 7 \cdot 5 = 35 \quad (\text{số này không phải là số nguyên tố})
\]

- Với \( n = 3 \):

\[
(3 + 5)(3 + 3) = 8 \cdot 6 = 48 \quad (\text{số này không phải là số nguyên tố})
\]

- Với \( n = 4 \):

\[
(4 + 5)(4 + 3) = 9 \cdot 7 = 63 \quad (\text{số này không phải là số nguyên tố})
\]

- Với \( n = 5 \):

\[
(5 + 5)(5 + 3) = 10 \cdot 8 = 80 \quad (\text{số này không phải là số nguyên tố})
\]

- Với \( n = 6 \):

\[
(6 + 5)(6 + 3) = 11 \cdot 9 = 99 \quad (\text{số này không phải là số nguyên tố})
\]

- Với \( n = 7 \):

\[
(7 + 5)(7 + 3) = 12 \cdot 10 = 120 \quad (\text{số này không phải là số nguyên tố})
\]

- Với \( n = 8 \):

\[
(8 + 5)(8 + 3) = 13 \cdot 11 = 143 \quad (\text{số này không phải là số nguyên tố})
\]

- Với \( n = 9 \):

\[
(9 + 5)(9 + 3) = 14 \cdot 12 = 168 \quad (\text{số này không phải là số nguyên tố})
\]

- Với \( n = 10 \):

\[
(10 + 5)(10 + 3) = 15 \cdot 13 = 195 \quad (\text{số này không phải là số nguyên tố})
\]

- Với \( n = 11 \):

\[
(11 + 5)(11 + 3) = 16 \cdot 14 = 224 \quad (\text{số này không phải là số nguyên tố})
\]

Từ các trường hợp trên, tôi nhận thấy rằng không có giá trị nào của \( n \) trong \( \mathbb{N} \) với \( n \geq 0 \) thỏa mãn yêu cầu \( (n+5)(n+3) \) là số nguyên tố.

Vậy không có giá trị nào của \( n \in \mathbb{N} \) cho \( (n+5)(n+3) \) là số nguyên tố.