Cho hình bình hành ABCD. Kéo dài đường trung tuyến AM của DABC và lấy điểm E sao cho ME = MA

Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành theo từng yêu cầu như sau:

### a) Tứ giác \( ABEC \) là hình gì?

Vì \( AM \) là trung tuyến của tam giác \( DABC \), điểm \( M \) là trung điểm của \( BC \). Theo định nghĩa, \( ME = MA \) có nghĩa là điểm \( E \) được lấy ở phía bên ngoài sao cho \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AE \).

Do đó, tứ giác \( ABEC \) sẽ có các cạnh:

- \( AB \) (cạnh của hình bình hành)
- \( AE \) (cạnh từ A đến E)
- \( BE \) (cạnh từ B đến E)
- \( EC \) (cạnh từ E đến C)

Do \( M \) là trung điểm của \( BC \) và \( ME = MA \), nên \( BE \) và \( AC \) sẽ song song và bằng nhau. Từ đó, ta có thể kết luận rằng tứ giác \( ABEC \) là một hình thang.

### b) Chứng minh rằng \( D, C, E \) thẳng hàng và suy ra \( C \) là trung điểm của \( DE \).

Ta có các điểm như sau:

- \( D \) là một đỉnh của hình bình hành.
- \( C \) là một đỉnh và dễ dàng nhận thấy \( C \) và \( E \) thẳng hàng dựa trên việc kéo dài đường trung tuyến \( AM \).

1. **Chứng minh rằng \( D, C, E \) thẳng hàng**:
- Xét điểm \( E \) như đã chứng minh ở trên. \( ME = MA \) cùng với tính chất của hình bình hành, ta đã có thể khẳng định rằng \( DC \parallel AE \).
- Do đó, từ tính chất hình bình hành \( ABCD \), ta có \( D, C, E \) là thẳng hàng.

2. **Suy ra \( C \) là trung điểm của \( DE \)**:
- Vì \( AM \) là trung tuyến, nên \( ME = MA \) cùng với \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \). Điều này dẫn đến việc xác định rằng \( C \) chia đoạn thẳng \( DE \) thành hai đoạn bằng nhau, từ đó khẳng định \( C \) là trung điểm của \( DE \).

Tóm lại, những luận điểm trên đã cho phép ta đưa ra câu trả lời cho yêu cầu a) và b).