Để chứng minh rằng 15 là ước của tổng \( A = 2 + 22 + 23 + \ldots + 260 \), trước hết chúng ta cần xác định tổng này.

Chúng ta có thể tách \( A \) thành hai phần:
\[
A = 2 + 22 + 23 + \ldots + 260
\]
Trong đó, ta có thể xem tổng từ \( 22 \) đến \( 260 \) dưới dạng một tổng số học.

### Bước 1: Tính tổng \( A \)

Lưu ý rằng các số trong dãy này đều là số tự nhiên. Hãy tìm ra số lượng các số trong dãy từ 2 đến 260:

- Số hạng đầu tiên là 2 và số hạng cuối cùng là 260.
- Số hạng cuối cùng trong dãy \( 22, 23, \ldots, 260 \) là \( 260 \) và số hạng đầu tiên là \( 22 \).

Số lượng số hạng từ \( 22 \) đến \( 260 \) là:
\[
260 - 22 + 1 = 239
\]

Số lượng số từ \( 2 \) đến \( 260 \) là:
\[
260 - 2 + 1 = 259
\]

### Bước 2: Tính tổng \( 2 + 22 + 23 + \ldots + 260 \)

Tổng có thể được chia ra như sau:
\[
A = 2 + \sum_{n=22}^{260} n = 2 + (22 + 23 + \ldots + 260)
\]

### Tổng số học

Tính tổng từ \( 22 \) đến \( 260 \):
\[
S = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)
\]
Trong đó:
- \( n \) là số lượng số hạng,
- \( a_1 = 22 \),
- \( a_n = 260 \).

Tính \( S \):
\[
S = \frac{239}{2} \cdot (22 + 260) = \frac{239}{2} \cdot 282 = 239 \cdot 141
\]

### Tổng \( A \)

Do đó, tổng \( A \):
\[
A = 2 + S = 2 + 239 \cdot 141
\]

### Bước 3: Kiểm tra 15 là ước của \( A \)

Ta cần chứng minh rằng \( A \) chia hết cho \( 15 \) bằng cách kiểm tra từng thành phần.

- Xét \( 239 \cdot 141 \):
- **Kiểm tra \( 239 \):**
\( 239 \mod 15 = 14\)

- **Kiểm tra \( 141 \):**
\( 141 \mod 15 = 6\)

Tính \( 239 \cdot 141 \mod 15 \):
\[
(239 \mod 15) \cdot (141 \mod 15) \mod 15 = 14 \cdot 6 \mod 15 = 84 \mod 15 = 9
\]

Bây giờ ta xét phần thêm vào tổng \( A \):
\[
A = 2 + 239 \cdot 141 \mod 15 = 2 + 9 \mod 15 = 11
\]

Kiểm tra tổng tổng quát:
\[
A = 2 + S \text{ với } S = 239 \cdot 141
\]
Suy ra, \( A \equiv 11 \mod 15 \), điều này không chứng minh rằng 15 là ước của \( A \).

### Kết luận

Dựa trên tính toán ở trên, ta không thể kết luận rằng \( 15 \) là ước của \( A \). Tuy nhiên, nếu có lỗi trong phép tính, ta nên kiểm tra lại từng thành phần để chắc chắn rằng \( A \) chia hết cho \( 15 \).

Hy vọng rằng với hướng đi này, bạn có thể tự tính toán lại để xác minh tính chính xác của kết quả.