Để chứng minh rằng 15 là ước của \( A = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{60} \), trước hết chúng ta nhận thấy rằng \( A \) là một chuỗi số hình học.

Công thức tổng của chuỗi số hình học là:

\[
S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]

Trong đó:
- \( a \) là số hạng đầu,
- \( r \) là tỷ số chung,
- \( n \) là số hạng.

Trong trường hợp của \( A \):
- \( a = 2 \)
- \( r = 2 \)
- Số hạng cuối là \( 2^{60} \), và số hạng đầu là \( 2^1 \).
- Số hạng \( n = 60 - 1 + 1 = 60 \).

Tổng \( A \) với các số hạng từ \( 2^1 \) đến \( 2^{60} \) có thể tính theo công thức như sau:

\[
A = 2 \frac{2^{60} - 1}{2 - 1} = 2(2^{60} - 1) = 2^{61} - 2
\]

Bây giờ, để chứng minh rằng 15 là ước của \( A \), chúng ta cần kiểm tra xem \( A \) chia hết cho 15 hay không. Ta có \( 15 = 3 \times 5 \). Vì vậy, ta cần kiểm tra xem \( A \) có chia hết cho 3 và 5 không.

### Kiểm tra chia hết cho 3:

Ta tính \( A \mod 3 \):

\[
A = 2^{61} - 2
\]

Theo quy tắc modulo, chúng ta biết rằng \( 2 \equiv 2 \mod 3 \) và \( 2^2 \equiv 1 \mod 3 \). Từ đó, ta có:

\[
2^{61} \equiv 2^{61 \mod 2} \equiv 2^1 \equiv 2 \mod 3
\]

Vậy:

\[
A \equiv 2 - 2 \equiv 0 \mod 3
\]

### Kiểm tra chia hết cho 5:

Tiếp theo, ta tính \( A \mod 5 \):

\[
A = 2^{61} - 2
\]

Theo quy tắc modulo, \( 2 \equiv 2 \mod 5 \) và \( 2^4 \equiv 1 \mod 5 \). Từ đó, ta có:

\[
2^{61} \equiv 2^{61 \mod 4} \equiv 2^1 \equiv 2 \mod 5
\]

Vậy:

\[
A \equiv 2 - 2 \equiv 0 \mod 5
\]

### Kết luận:

Vì \( A \) chia hết cho cả 3 và 5, nên \( A \) cũng chia hết cho \( 15 \).

Do đó, chúng ta có thể kết luận rằng 15 là ước của \( A \).