Để chứng minh rằng \(3n + 11\) và \(3n + 2\) là hai số nguyên tố cùng nhau (tức là ước chung lớn nhất (ƯCLN) giữa chúng bằng 1), chúng ta có thể sử dụng định lý Euclid về ước số chung.

Đặt:
- \(a = 3n + 11\)
- \(b = 3n + 2\)

Chúng ta sẽ tính ƯCLN của \(a\) và \(b\) bằng cách sử dụng quy tắc Euclid (dùng phép trừ và phép chia):
\[
\gcd(a, b) = \gcd(b, a - b)
\]
Bây giờ, tính \(a - b\):
\[
a - b = (3n + 11) - (3n + 2) = 11 - 2 = 9
\]
Vậy ta có:
\[
\gcd(a, b) = \gcd(b, 9)
\]
Bây giờ, ta sẽ tính \(\gcd(b, 9)\):
\[
b = 3n + 2
\]
Số \(b\) sẽ có dạng \(2\) nhiều hơn \(3n\) và \(3n\) là bội số của \(3\). Ta kiểm tra \(b\) trong các trường hợp của \(n\) khi chia cho \(3\).

Cụ thể, ta sẽ xem xét ba trường hợp theo phần dư của \(n\):
1. Nếu \(n \equiv 0 \mod 3\), thì \(b = 3k + 2\) với \(k\) là số nguyên, nên \(b \mod 9 \equiv 2 \mod 9\).
2. Nếu \(n \equiv 1 \mod 3\), thì \(b = 3k + 5\) với \(k\) là số nguyên, nên \(b \mod 9 \equiv 5 \mod 9\).
3. Nếu \(n \equiv 2 \mod 3\), thì \(b = 3k + 8\) với \(k\) là số nguyên, nên \(b \mod 9 \equiv 8 \mod 9\).

Vì \(2\), \(5\), và \(8\) không chia hết cho \(3\), do đó:
\[
\gcd(b, 9) = 1
\]

Từ đó, chúng ta có:
\[
\gcd(a, b) = \gcd(b, 9) = 1
\]
Vậy \(3n + 11\) và \(3n + 2\) là nguyên tố cùng nhau.

Kết luận, ta đã chứng minh rằng \(3n + 11\) và \(3n + 2\) là hai số nguyên tố cùng nhau cho mọi số nguyên \(n\).