Để tìm điều kiện xác định của các biểu thức, ta cần đảm bảo rằng các biểu thức dưới căn đều dương và không chia cho 0. Dưới đây là điều kiện xác định cho từng biểu thức:

a) \(\frac{\sqrt{3x + 1}}{(x - 1)^2}\)

- Điều kiện: \(3x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{1}{3}\)
- \( (x - 1)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \)

b) \(\frac{1}{\sqrt{(3 - x)^2}}\)

- Điều kiện: \((3 - x)^2 > 0 \Rightarrow x \neq 3\)

c) \(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 4x}}\)

- Điều kiện: \(x^2 + 4x > 0 \Rightarrow x(x + 4) > 0\) có nghiệm \(x < -4\) hoặc \(x > 0\)

d) \(-\sqrt{x^2 + 2x - 3}\)

- Điều kiện: \(x^2 + 2x - 3 \geq 0 \Rightarrow (x - 1)(x + 3) \geq 0\) có nghiệm \(x \leq -3\) hoặc \(x \geq 1\)

e) \(\frac{1}{\sqrt{x - 2}}\)

- Điều kiện: \(x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2\)

f) \(\frac{1}{\sqrt{x - \sqrt{2x - 1}}}\)

- Điều kiện:
1. \(x - \sqrt{2x - 1} > 0 \Rightarrow x > \sqrt{2x - 1}\)
2. Từ bất phương trình này, bình phương hai vế: \(x^2 > 2x - 1\) \(\Rightarrow x^2 - 2x + 1 > 0 \Rightarrow (x - 1)^2 > 0\), nên \(x \neq 1\)
3. Đồng thời: \(2x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{2}\)

Tóm lại, các điều kiện xác định như sau:
- a) \(x \geq -\frac{1}{3}\), \(x \neq 1\)
- b) \(x \neq 3\)
- c) \(x < -4\) hoặc \(x > 0\)
- d) \(x \leq -3\) hoặc \(x \geq 1\)
- e) \(x > 2\)
- f) \(x \geq \frac{1}{2}\) và \(x \neq 1\)