**a. Chứng minh rằng nếu \(2x + 5y\) chia hết cho 17 thì \(9x + 5y\) chia hết cho 17.**

Giả sử \(2x + 5y \equiv 0 \pmod{17}\).

Ta cần chứng minh \(9x + 5y \equiv 0 \pmod{17}\).

Chúng ta có thể viết lại \(9x + 5y\) theo \(2x + 5y\):

\[
9x + 5y = 9x + 5y - 4(2x + 5y) + 4(2x + 5y) = (9 - 8)x + (5 - 20)y = x - 15y
\]

Bây giờ, thay vào \(2x + 5y \equiv 0 \pmod{17}\):

\[
x \equiv -\frac{5y}{2} \pmod{17} \tag{1}
\]
(Phương trình này được tính được khi \(2\) có số nghịch đảo modulo \(17\), và số nghịch đảo của \(2\) modulo \(17\) là \(9\), do \(2 \cdot 9 \equiv 1 \pmod{17}\).)

Khi thay (\(1\)) vào biểu thức \(x - 15y\):

\[
x - 15y \equiv -\frac{5y}{2} - 15y = -\frac{5y}{2} - \frac{30y}{2} = -\frac{35y}{2} \equiv 0 \pmod{17}
\]

Do đó, \(9x + 5y \equiv 0 \pmod{17}\).

**Kết luận:** Nếu \(2x + 5y \equiv 0 \pmod{17}\) thì \(9x + 5y \equiv 0 \pmod{17}\).

---

**b. Chứng minh rằng nếu \(a + 4b\) chia hết cho 13 (với \(a, b \in \mathbb{N}\)), thì \(10a + b\) chia hết cho 13.**

Giả sử \(a + 4b \equiv 0 \pmod{13}\), tức là:

\[
a + 4b = 13k \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Ta cần chứng minh rằng \(10a + b \equiv 0 \pmod{13}\).

Bắt đầu từ \(a + 4b \equiv 0\):

Từ phương trình này, ta có thể viết \(a\) theo \(b\):

\[
a \equiv -4b \pmod{13}
\]

Thay giá trị này vào biểu thức \(10a + b\):

\[
10a + b \equiv 10(-4b) + b \equiv -40b + b \equiv -39b \pmod{13}
\]

Vì \(39 \equiv 0 \pmod{13}\), ta có:

\[
-39b \equiv 0 \pmod{13}
\]

Vậy suy ra \(10a + b \equiv 0 \pmod{13}\).

**Kết luận:** Nếu \(a + 4b\) chia hết cho 13 thì \(10a + b\) cũng chia hết cho 13.