Để giải các biểu thức A, B và C, chúng ta sẽ tính từng trường hợp một.

### a) Tính \( A = \sum_{n=1}^{2021} \left( 1 - \frac{1}{n(n+1)} \right) \)

Ta có thể viết lại biểu thức như sau:

\[
1 - \frac{1}{n(n+1)} = 1 - \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = \frac{n(n+1) - 1}{n(n+1)} = \frac{n^2 + n - 1}{n(n+1)}
\]

Tuy nhiên, dễ nhận thấy rằng \( \frac{1}{n(n+1)} \) có thể viết thành:

\[
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
\]

Vậy nên:

\[
A = \sum_{n=1}^{2021} \left( 1 - \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \right) = \sum_{n=1}^{2021} \left( 1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} \right)
\]

Tính từng phần:

1. Tổng \( \sum_{n=1}^{2021} 1 = 2021 \)
2. Tổng \( -\sum_{n=1}^{2021} \frac{1}{n} \) (hàm số điều hòa)
3. Tổng \( \sum_{n=1}^{2021} \frac{1}{n+1} = \sum_{k=2}^{2022} \frac{1}{k} \)

Kết hợp lại:

\[
A = 2021 - \sum_{n=1}^{2021} \frac{1}{n} + \sum_{k=2}^{2022} \frac{1}{k} = 2021 - \frac{1}{1} + \frac{1}{2022} = 2020 + \frac{1}{2022}
\]

### b) Tính \( B = \frac{3}{1\cdot 4} + \frac{5}{4\cdot 9} + \frac{7}{9\cdot 16} + \frac{11}{16\cdot 27} \)

Ta có thể viết lại các tử số và mẫu số trong từng phần như sau:

- Các tử số là các số lẻ: \( 3, 5, 7, 11 \) có thể được viết dưới dạng \( 2n + 1 \)
- Các mẫu số là tích của hai số lập phương: \( 1\cdot4, 4\cdot9, 9\cdot16, 16\cdot27 \).

Tuy nhiên, việc tính tổng này sẽ rất phức tạp, nên ta thay bằng cách tính từng phần:

1. \( \frac{3}{1\cdot 4} = \frac{3}{4} \)
2. \( \frac{5}{4\cdot 9} = \frac{5}{36} \)
3. \( \frac{7}{9\cdot 16} = \frac{7}{144} \)
4. \( \frac{11}{16\cdot 27} = \frac{11}{432} \)

Sau khi tính toán từng phần và quy đồng:

\[
B = \frac{3 \cdot 108 + 5 \cdot 12 + 7 \cdot 3 + 11}{432} = \frac{324 + 60 + 21 + 11}{432} = \frac{416}{432} = \frac{52}{54} = \frac{26}{27}
\]

### c) Tính \( C = \sum_{k=1}^{6} \frac{1}{10^k} \)

Tổng \( C \) là một chuỗi hình học với \( a = \frac{1}{10} \), \( r = \frac{1}{10} \), và số hạng cuối là \( \frac{1}{1000000} \):

Sử dụng công thức tổng của chuỗi hình học:

\[
C = a \frac{1 - r^n}{1 - r} = \frac{1}{10} \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{10}\right)^6}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{1/10}{9/10} (1 - \frac{1}{1000000}) = \frac{1}{9} \left( 1 - \frac{1}{1000000} \right)
\]

Khi đó:

\[
C = \frac{1}{9} \times \frac{999999}{1000000}
\]

### Kết luận
1. \( A = 2020 + \frac{1}{2022} \)
2. \( B = \frac{26}{27} \)
3. \( C = \frac{999999}{9000000} \)