Để chứng minh các phần của bài toán liên quan đến hình thoi ABCD, chúng ta sẽ tiến hành từng bước một:

### a. Chứng minh tứ giác DOCE là hình chữ nhật

1. **Xét các vector**: Trong hình thoi ABCD, đỉnh O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
2. **Các đường thẳng song song**: Đường thẳng đi qua C song song với BD, tức là hai đường này có cùng hướng, tương tự với đường thẳng đi qua D song song với AC.
3. **Định lý hình chữ nhật**: Tứ giác DOCE sẽ là hình chữ nhật nếu có hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau.
- Ta đã có DE // AC và OC // BD, do đó DE // OC.
- Từ các đường song song, ta biết rằng góc DOC = góc EDC và góc ODC = góc CDE (căn cứ theo trường hợp các đường song song).
- Do đó, góc ODE = góc OCE = 90°.
4. **Kết luận**: Do có một cặp góc vuông và hai cặp cạnh song song, nên tứ giác DOCE là hình chữ nhật.

### b. Chứng minh OE // BC

1. **Áp dụng tính chất song song**: Từ phần a, ta đã biết DE // AC và OC // BD. Khi cắt bởi một đường thẳng, hai đường này tạo thành các cặp góc bằng nhau.
2. **Cụ thể với tam giác**: Ta có DE song song với AC và OC song song với BD, ta chú ý rằng BC cũng song song với DE (do hình thoi có tính chất đối xứng).
3. **Kết luận**: Do đó, ta có OE // BC.

### c. Chứng minh điểm O là trọng tâm của tam giác ABE

1. **Tính chất đối xứng trong hình thoi**: Trong hình thoi, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, chia mỗi đường chéo thành hai đoạn bằng nhau (AO = OC và BO = OD).
2. **Trong tam giác ABE**: Điểm O là giao điểm của hai đoạn thẳng AO và BO, phân chia tam giác ABE thành hai tam giác AOB và OBE.
3. **Định nghĩa trọng tâm**: Trọng tâm của một tam giác là điểm nơi ba đường trung tuyến giao nhau. Các đường trung tuyến của tam giác ABE là các đoạn nối từ các đỉnh với các trung điểm của các cạnh đối diện.
4. **Kết luận**: Bởi vì O là giao điểm của hai đường chéo, và nó phân chia mặt phẳng trong tam giác ABE thành các đoạn chiều dài bằng nhau, điều này chứng minh rằng O là trọng tâm của tam giác ABE.

### Tóm lại:

- Tứ giác DOCE là hình chữ nhật.
- OE song song với BC.
- Điểm O là trọng tâm của tam giác ABE.

Các chứng minh trên được dựa trên các tính chất và định nghĩa liên quan đến tứ giác, hình chữ nhật và trọng tâm của tam giác.