Tìm nghiệm nguyên

Ta bắt đầu từ phương trình đã cho:

\[
y^{2} - (x + 4)^{2} - x^{3} + 10x^{2} - 32x + 14 = 0.
\]

Ta có thể sửa lại phương trình này để biểu diễn \(y^2\):

\[
y^{2} = (x + 4)^{2} + x^{3} - 10x^{2} + 32x - 14.
\]

Tiếp theo, ta mở rộng biểu thức bên phải:

\[
(x + 4)^{2} = x^{2} + 8x + 16.
\]

Thay vào phương trình:

\[
y^{2} = x^{2} + 8x + 16 + x^{3} - 10x^{2} + 32x - 14.
\]

Sắp xếp các hạng tử lại:

\[
y^{2} = x^{3} + (1 - 10)x^{2} + (8 + 32)x + (16 - 14) = x^{3} - 9x^{2} + 40x + 2.
\]

Để tìm nghiệm nguyên của phương trình này, ta cần \(y^2\) là một số không âm. Do đó, cần điều kiện:

\[
x^{3} - 9x^{2} + 40x + 2 \geq 0.
\]

Ta xét hàm số:

\[
f(x) = x^{3} - 9x^{2} + 40x + 2.
\]

Tiếp theo, chúng ta sẽ khảo sát \(f(x)\) và tìm nghiệm nguyên của phương trình \(f(x) = y^2\). Đầu tiên chúng ta tìm nghiệm của \(f(x)\):

Tính giá trị của \(f(x)\) cho một số giá trị của \(x\):

- Với \(x = 0\):
\[
f(0) = 0^{3} - 9 \cdot 0^{2} + 40 \cdot 0 + 2 = 2 > 0.
\]

- Với \(x = 1\):
\[
f(1) = 1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 40 \cdot 1 + 2 = 1 - 9 + 40 + 2 = 34 > 0.
\]

- Với \(x = 2\):
\[
f(2) = 2^{3} - 9 \cdot 2^{2} + 40 \cdot 2 + 2 = 8 - 36 + 80 + 2 = 54 > 0.
\]

- Với \(x = 3\):
\[
f(3) = 3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 40 \cdot 3 + 2 = 27 - 81 + 120 + 2 = 68 > 0.
\]

- Với \(x = 4\):
\[
f(4) = 4^{3} - 9 \cdot 4^{2} + 40 \cdot 4 + 2 = 64 - 144 + 160 + 2 = 82 > 0.
\]

- Với \(x = 5\):
\[
f(5) = 5^{3} - 9 \cdot 5^{2} + 40 \cdot 5 + 2 = 125 - 225 + 200 + 2 = 102 > 0.
\]

- Với \(x = 6\):
\[
f(6) = 6^{3} - 9 \cdot 6^{2} + 40 \cdot 6 + 2 = 216 - 324 + 240 + 2 = 134 > 0.
\]

- Với \(x = 7\):
\[
f(7) = 7^{3} - 9 \cdot 7^{2} + 40 \cdot 7 + 2 = 343 - 441 + 280 + 2 = 184 > 0.
\]

- Với \(x = 8\):
\[
f(8) = 8^{3} - 9 \cdot 8^{2} + 40 \cdot 8 + 2 = 512 - 576 + 320 + 2 = 258 > 0.
\]

- Với \(x = 9\):
\[
f(9) = 9^{3} - 9 \cdot 9^{2} + 40 \cdot 9 + 2 = 729 - 729 + 360 + 2 = 362 > 0.
\]

Tiếp tục với giá trị âm:

- Với \(x = -1\):
\[
f(-1) = (-1)^{3} - 9 \cdot (-1)^{2} + 40 \cdot (-1) + 2 = -1 - 9 - 40 + 2 = -48 < 0.
\]

- Với \(x = -2\):
\[
f(-2) = (-2)^{3} - 9 \cdot (-2)^{2} + 40 \cdot (-2) + 2 = -8 - 36 - 80 + 2 = -122 < 0.
\]

- Với \(x = -3\):
\[
f(-3) = (-3)^{3} - 9 \cdot (-3)^{2} + 40 \cdot (-3) + 2 = -27 - 81 - 120 + 2 = -226 < 0.
\]

- Với \(x = -4\):
\[
f(-4) = (-4)^{3} - 9 \cdot (-4)^{2} + 40 \cdot (-4) + 2 = -64 - 144 - 160 + 2 = -366 < 0.
\]

Tiếp tục tìm nghiệm:

- Với \(x = -5\):
\[
f(-5) = (-5)^{3} - 9 \cdot (-5)^{2} + 40 \cdot (-5) + 2 = -125 - 225 - 200 + 2 = -548 < 0.
\]

### Kết luận

Sau khi đã thử nghiệm nhiều giá trị của \(x\) từ -5 tới 9, ta nhận thấy rằng \(f(x) > 0\) cho tất cả các \(x\) nguyên dương từ 0 đến 9. Vậy ta sẽ kiểm tra các giá trị của \(y^2\) để thấy được điều kiện \(y\) nhận các giá trị nguyên.

Tuy nhiên, với các giá trị mà ta kiểm tra, ta không tìm thấy giá trị nào \(x\) sao cho \(y^2\) là một số chính phương.

Ta sẽ thử các giá trị khác của \(x\) và tính tiếp cho tới khi tìm ra nghiệm nguyên.

Nếu không có nghiệm nguyên nào cho phương trình gốc, ta có thể khẳng định rằng không tồn tại nghiệm nguyên cho phương trình đã cho.