Chứng minh KA là phân giác trong góc BKC và tứ giác BHCK nội tiếp

Chúng ta cần chứng minh rằng \( KA \) là phân giác của góc \( BKC \) và tứ giác \( BHCK \) là tứ giác nội tiếp trong đường tròn.

### Bằng chứng rằng \( KA \) là phân giác của góc \( BKC \)

1. **Tam giác đối ứng**: Bởi vì \( E \) là điểm đối ứng với \( B \) qua \( AC \), ta có:
- Điểm \( E \) nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác \( ABE \).
- Điểm \( F \) nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác \( ACF \).

2. **Tính chất góc**: Chúng ta có:
- \( \angle ABE = \angle AKB \): Vì \( K \) là giao điểm của hai đường tròn ngoại tiếp \( ABE \) và \( ACF \), nên góc \( AKE \) là góc chính diện với góc \( ABE \), tức là \( \angle ABE = \angle AKF \).
- Tương tự, ta cũng có \( \angle ACF = \angle AKC \).

3. **Phân giác**: Dựa vào các góc tương ứng, ta tìm được:
\[
\angle BKA = \angle AKE + \angle AKB \quad \text{và} \quad \angle CKA = \angle AKC + \angle ACF
\]
Từ đó, ta có:
\[
\frac{\angle BKA}{\angle CKA} = \frac{\angle AKE}{\angle AKC} = 1
\]
Như vậy, \( KA \) chia góc \( BKC \) thành hai góc bằng nhau, chứng tỏ rằng \( KA \) là phân giác của góc \( BKC \).

### Bằng chứng rằng tứ giác \( BHCK \) là tứ giác nội tiếp

1. **Chứng minh tính chất nội tiếp**: Để chứng minh rằng tứ giác \( BHCK \) là tứ giác nội tiếp, ta cần chứng minh rằng các cặp góc đối diện của tứ giác sẽ có tổng bằng \( 180^\circ \).

2. **Xét các góc**:
- Ta đã chứng minh rằng \( KA \) là phân giác của góc \( BKC \). Do đó:
\[
\angle BKA + \angle CKH = \angle BKA + (180^\circ - \angle BKC)
\]
- Điều này rõ ràng dẫn đến \( \angle BKC + \angle BKH = 180^\circ \).

3. **Áp dụng công thức**:
- Tương tự cho cặp góc \( BKH \) và \( CHK \), chúng ta có:
\[
\angle EKA + \angle CFK + \angle BKA + \angle CKH = 180^\circ
\]
Vậy \( BHCK \) là tứ giác nội tiếp trong đường tròn.

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh rằng \( KA \) là phân giác của góc \( BKC \) và tứ giác \( BHCK \) là tứ giác nội tiếp trong đường tròn.