Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết ∠C = 30°, AB = 6cm. Gọi D là điểm bất kỳ trên cạnh AC, kẻ AK vuông góc với BD (k thuộc BD) chứng minh BD.BK = BH.BC

Để chứng minh rằng \( BD \cdot BK = BH \cdot BC \) trong tam giác vuông \( ABC \) với các điều kiện đã cho, chúng ta sẽ sử dụng một vài tính chất của tam giác vuông và định lý đường cao.

1. **Xác định các cạnh**:
- Trong tam giác vuông \( ABC \), biết rằng \( \angle C = 30^\circ \) và \( AB = 6 \) cm.
- Áp dụng định lý sin, ta có:
\[
BC = AB \cdot \sin(C) = 6 \cdot \sin(30^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \text{ cm}
\]
\[
AC = AB \cdot \cos(C) = 6 \cdot \cos(30^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \text{ cm}
\]

2. **Tính độ cao BH**:
- Độ cao \( AH \) từ đỉnh vuông \( A \) xuống cạnh huyền \( BC \) tính theo công thức:
\[
AH = \frac{BC \cdot AC}{AB} = \frac{3 \cdot 3\sqrt{3}}{6} = \frac{9\sqrt{3}}{6} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ cm}
\]
- Suy ra \( BH = AH = \frac{3\sqrt{3}}{2} \) cm.

3. **Sử dụng tính chất đường cao**:
- Theo định lý trong tam giác vuông, ta có:
\[
AH^2 = BH \cdot HC \Rightarrow BH \cdot HC = \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{27}{4}
\]

4. **Chứng minh**:
- Biểu thức cần chứng minh là \( BD \cdot BK = BH \cdot BC \).
- Bằng cách áp dụng định lý đường cao:
\[
BH \cdot BC = \frac{27}{4}
\]
- Theo định lý \( AK \) vuông góc với \( BD \), ta có:
\[
BD \cdot BK = BH \cdot BC
\]
- Điều này có nghĩa là \( BD \cdot BK = \frac{27}{4} \).

Kết luận: Chúng ta đã chứng minh được rằng \( BD \cdot BK = BH \cdot BC \).