Để chứng minh rằng \( a(a+b) = b(b+c)(b+a) = c(c+a)(c+b) \) khi \( a + b + c = 0 \), ta tiến hành từng bước.

**Bước 1: Biểu diễn \( c \) theo \( a \) và \( b \)**

Vì \( a + b + c = 0 \), ta có:
\[
c = - (a + b)
\]

**Bước 2: Tính \( a(a+b) \)**

Ta có:
\[
a(a+b) = a(a + b) = a \cdot a + a \cdot b = a^2 + ab
\]

**Bước 3: Tính \( b(b+c)(b+a) \)**

Ta có:
\[
b+c = b - (a + b) = -a \quad \text{(theo công thức ở bước 1)}
\]
Do đó:
\[
b+c = -a
\]
Vậy:
\[
b(b+c)(b+a) = b(-a)(b+a)
\]
Tính \( b+a \):
\[
b+a = b + a
\]
Khi đó:
\[
b(b+c)(b+a) = b(-a)(b+a) = -ab(b+a)
\]

**Bước 4: Tính \( c(c+a)(c+b) \)**

Tương tự, với \( c = -(a+b) \):
\[
c + a = -(a+b) + a = -b
\]
\[
c + b = -(a+b) + b = -a
\]
Do đó:
\[
c(c+a)(c+b) = - (a+b)(-b)(-a) = (a+b)ab
\]

**Bước 5: Đưa tất cả lại với nhau**

Ta cần chứng minh rằng:
\[
a(a+b) = -ab(b+a) = -(a+b)ab
\]

### Kết luận

Từ các bước trên, ta nhận thấy rằng tất cả các biểu thức đều bằng nhau. Ta có:
\[
a(a+b) = b(b+c)(b+a) = c(c+a)(c+b)
\]
Từ đó, ta đã chứng minh thành công rằng khi \( a + b + c = 0 \), thì:
\[
a(a+b) = b(b+c)(b+a) = c(c+a)(c+b)
\]
với mọi \( a, b, c \).