Để giải bài toán này, ta cần phân tích các phần của tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và các điểm \(E\), \(M\), \(F\), và \(N\).

### a) Tứ giác \(AECF\) là hình gì?

1. Tứ giác \(AECF\) có bốn đỉnh là \(A\), \(E\), \(C\), và \(F\).
2. \(E\) là trung điểm của cạnh \(BC\) và \(M\) là trung điểm của cạnh \(AC\).
3. Theo giả thiết, \(M\) là trung điểm của đoạn \(EF\), nghĩa là:
\[
E + F = 2M.
\]

Do vậy, ta có thể viết:
\[
F = 2M - E.
\]

4. Dễ thấy \(C\) cùng \(A\) nằm trên một đường thẳng vuông góc với cạnh \(BC\) vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).

Nhờ tính chất trung điểm, ta có thể nhận thấy rằng:
- Tứ giác \(AECF\) sẽ có một cặp cạnh đối song song, cụ thể là \(AE \parallel CF\) và \(AC \parallel EF\).

Do vậy, ta có thể kết luận rằng **tứ giác \(AECF\) là hình thang**.

### b) Chứng minh \(MN = \frac{1}{2}BC\)

1. Gọi \(A(0, 0)\), \(B(0, b)\), và \(C(c, 0)\) với \( b > 0, c > 0\).
2. Từ đó, ta tính toán các tọa độ như sau:
- Trung điểm \(E\) của \(BC\):
\[
E\left(\frac{c}{2}, \frac{b}{2}\right).
\]
- Trung điểm \(M\) của \(AC\):
\[
M\left(\frac{c}{2}, 0\right).
\]
- Trung điểm \(N\) của \(AB\):
\[
N(0, \frac{b}{2}).
\]

3. Tính khoảng cách \(MN\):
\[
MN = \sqrt{ \left(\frac{c}{2} - 0 \right)^2 + \left(0 - \frac{b}{2} \right)^2 }
= \sqrt{ \left(\frac{c^2}{4} + \frac{b^2}{4}\right) }
= \frac{1}{2} \sqrt{c^2 + b^2}.
\]

4. Theo định lý Pythagore, ta có:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{b^2 + c^2}.
\]

5. Do đó, ta đưa ra được:
\[
MN = \frac{1}{2} \sqrt{c^2 + b^2} = \frac{1}{2} BC.
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \(MN = \frac{1}{2} BC\).

### Kết luận
- Tứ giác \(AECF\) là hình thang.
- \(MN = \frac{1}{2} BC\).