Để tìm số nguyên tố \( p \) sao cho \( p + 4 \) và \( p + 8 \) đều là số nguyên tố, chúng ta sẽ thử các số nguyên tố lần lượt.

Bắt đầu với các số nguyên tố nhỏ:

1. **\( p = 2 \)**:
- \( p + 4 = 6 \) (không phải số nguyên tố).

2. **\( p = 3 \)**:
- \( p + 4 = 7 \) (số nguyên tố).
- \( p + 8 = 11 \) (số nguyên tố).
- Kết quả: \( p = 3 \) thỏa mãn.

3. **\( p = 5 \)**:
- \( p + 4 = 9 \) (không phải số nguyên tố).

4. **\( p = 7 \)**:
- \( p + 4 = 11 \) (số nguyên tố).
- \( p + 8 = 15 \) (không phải số nguyên tố).

5. **\( p = 11 \)**:
- \( p + 4 = 15 \) (không phải số nguyên tố).

6. **\( p = 13 \)**:
- \( p + 4 = 17 \) (số nguyên tố).
- \( p + 8 = 21 \) (không phải số nguyên tố).

7. **\( p = 17 \)**:
- \( p + 4 = 21 \) (không phải số nguyên tố).

8. **\( p = 19 \)**:
- \( p + 4 = 23 \) (số nguyên tố).
- \( p + 8 = 27 \) (không phải số nguyên tố).

9. **\( p = 23 \)**:
- \( p + 4 = 27 \) (không phải số nguyên tố).

10. **\( p = 29 \)**:
- \( p + 4 = 33 \) (không phải số nguyên tố).

Sau khi thử các số nguyên tố nhỏ, số duy nhất thỏa mãn điều kiện là \( p = 3 \).

Vậy số nguyên tố \( p \) thỏa mãn điều kiện \( p + 4 \) và \( p + 8 \) đều là số nguyên tố là **3**.