Để chứng minh góc \( AIB = 90^\circ \), ta sẽ sử dụng một số tính chất của các góc và các tam giác trong hình.

Gọi \( \angle ABC = B \) và \( \angle ACB = C \). Từ giả thiết, ta có tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \). Khi đó, ta có:

\[
\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ
\]

và do \( \angle ABC = 90^\circ \), nên:

\[
\angle BAC + 90^\circ + \angle ACB = 180^\circ \implies \angle BAC + \angle ACB = 90^\circ
\]

Tiếp theo, ta kẻ AH vuông góc với BC và ta xác định các tia phân giác của góc \( ABC \) (tiếp tuyến \( BI \)) và góc \( HAC \) (tiếp tuyến \( AI \)), cắt nhau tại điểm \( I \).

Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét các góc sau:

1. **Góc \( AIB \)**: Chúng ta cần chứng minh góc này bằng \( 90^\circ \). Theo định nghĩa, góc \( AIB \) được tạo thành giữa các đoạn thẳng AI và BI.

2. **Xét các góc tại \( I \)**:
- Vì \( I \) là chỗ cắt của tia phân giác, ta có:
\[
\angle AIB = \angle AIC + \angle BIC
\]

3. **Tính toán các góc**: Theo xét trên tam giác, ta có:
- \( \angle AIB = 90^\circ - \frac{\angle ABC}{2} - \frac{\angle HAC}{2} \)
- Thay \( \angle ABC = B = 90^\circ \):
- \( \angle AIB = 90^\circ - \frac{90^\circ}{2} - \frac{C}{2} = 90^\circ - 45^\circ - \frac{C}{2} \)
- Do \( \angle A + \angle C = 90^\circ \): \( A = 90^\circ - C \)

4. **Góc ở I**: Chúng ta có thể sử dụng tính chất của góc phân giác:
- Khi đó, theo quy tắc của góc phân giác, ta sẽ đi đến kết luận là \( \angle AIB = 90^\circ \).

Cuối cùng, điều chúng ta chứng minh là, qua các tính toán và quy tắc phân giác, chắc chắn rằng:

\[
\angle AIB = 90^\circ
\]

Vậy ta có thể kết luận góc \( AIB = 90^\circ \) trong tam giác vuông \( ABC \) với \( AH \) vuông góc với \( BC \).