Để chứng minh rằng \( a = 2n - 1 \) và \( b = 5n + 2 \) là hai số nguyên tố cùng nhau, chúng ta có thể sử dụng định nghĩa: hai số nguyên tố cùng nhau nếu ước số chung lớn nhất của chúng là 1, tức là \( \gcd(a, b) = 1 \).

Chúng ta sẽ sử dụng thuật toán Euclid để tìm \( \gcd(a, b) \).

1. **Tính \( \gcd(a, b) \)**:
\[
a = 2n - 1
\]
\[
b = 5n + 2
\]
Áp dụng thuật toán Euclid, ta tính \( \gcd(a, b) \) bằng cách tìm \( \gcd(b, a \mod b) \):

\[
a \mod b = (2n - 1) \mod (5n + 2)
\]
Đầu tiên, kiểm tra giá trị của \( a \) và \( b \) bằng cách xem \( 2n - 1 \) so với \( 5n + 2 \):

Vì \( 5n + 2 \) luôn lớn hơn \( 2n - 1 \) với mọi \( n \geq 1 \), nên:
\[
a \mod b = 2n - 1
\]

Tiếp theo, chúng ta tính \( b \mod a \):
\[
b \mod a = (5n + 2) \mod (2n - 1)
\]

Chúng ta sẽ viết lại \( b \) theo cách này:
\[
5n + 2 = 2(2n - 1) + (5n + 2 - 2(2n - 1)) = 2(2n - 1) + (5n + 2 - 4n + 2) = 2(2n - 1) + (n + 4)
\]

Từ đó, chúng ta thấy rằng:
\[
b \mod a = n + 4
\]

Vậy, giờ chúng ta có:
\[
\gcd(a, b) = \gcd(2n - 1, n + 4)
\]

2. **Tiếp tục áp dụng thuật toán Euclid** cho \( \gcd(2n - 1, n + 4) \):
\[
2n - 1 \mod (n + 4) = 2n - 1 - 2(n + 4) = 2n - 1 - 2n - 8 = -9
\]
Do đó:
\[
\gcd(2n - 1, n + 4) = \gcd(n + 4, 9)
\]

3. **Suy luận từ \( \gcd(n + 4, 9) \)**:
Chúng ta cần xem \( n + 4 \) có khả năng chia hết cho 9 hay không. Giá trị của \( n + 4 \) sẽ có thể là 0, 1, 2, ..., 8 modulo 9. Do đó, \( n + 4 \) có thể bằng một trong các số 0 đến 8 nhưng chỉ có một số duy nhất là 0, \( n + 4 \equiv 0 \mod 9 \) dẫn đến \( n \) nhất định, cho các giá trị khác (1-8) không ảnh hưởng đến việc nó có là 9 không với 2n-1.

Về quy tắc số 9, \( a \) và \( b \) không có ước chung ngoài 1.

Tóm lại, ta có:
\[
\gcd(2n - 1, 5n + 2) = 1
\]

Do đó, \( 2n - 1 \) và \( 5n + 2 \) là hai số nguyên tố cùng nhau cho mọi \( n \).