Để rút gọn biểu thức \(\frac{(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+1}{x^2+7x+11}\), trước hết, chúng ta cần xem xét và biến đổi phần tử ở tử số.

1. **Tính tử số:**
Ta sẽ tính \((x+2)(x+3)(x+4)(x+5)\). Để làm dễ hơn, hãy đặt:
\[
f(x) = (x+2)(x+5) \text{ và } g(x) = (x+3)(x+4).
\]
Tính \( f(x) \) và \( g(x) \):
\[
f(x) = (x+2)(x+5) = x^2 + 7x + 10,
\]
\[
g(x) = (x+3)(x+4) = x^2 + 7x + 12.
\]
Do đó:
\[
(x+2)(x+3)(x+4)(x+5) = f(x)g(x) = (x^2 + 7x + 10)(x^2 + 7x + 12).
\]
Đặt \( y = x^2 + 7x \):
\[
f(x)g(x) = (y + 10)(y + 12) = y^2 + 22y + 120.
\]
Do đó:
\[
(x+2)(x+3)(x+4)(x+5) = (x^2 + 7x)^2 + 22(x^2 + 7x) + 120.
\]

2. **Cộng 1 vào tử số:**
Thêm 1 vào biểu thức trên:
\[
(x+2)(x+3)(x+4)(x+5) + 1 = (x^2 + 7x)^2 + 22(x^2 + 7x) + 120 + 1 = (x^2 + 7x)^2 + 22(x^2 + 7x) + 121.
\]

3. **Tính mẫu số:**
Mẫu số \(x^2 + 7x + 11\) có thể viết lại là:
\[
= x^2 + 7x + 11.
\]

4. **Rút gọn toàn bộ biểu thức:**
Xét toàn bộ biểu thức:
\[
\frac{(x^2 + 7x)^2 + 22(x^2 + 7x) + 121}{x^2 + 7x + 11}.
\]
Ta đặt \( z = x^2 + 7x \), thì biểu thức này trở thành:
\[
\frac{z^2 + 22z + 121}{z + 11}.
\]

Chúng ta có thể tính tiếp tử số:
\[
z^2 + 22z + 121 = (z + 11)^2.
\]

5. **Rút gọn:**
Biểu thức trở thành:
\[
\frac{(z + 11)^2}{z + 11} = z + 11.
\]

Và rồi thay lại \( z = x^2 + 7x \):
\[
= x^2 + 7x + 11.
\]

Vậy, biểu thức đã được rút gọn là:
\[
\boxed{x^2 + 7x + 11}.
\]