Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và BCD. Chúng mình rằng \( MN \parallel (ABD) \) và \( MN \parallel (ACD) \)

Để chứng minh rằng \( MN \parallel (ABD) \) và \( MN \parallel (ACD) \), ta sẽ sử dụng tính chất của trọng tâm và các vector trong không gian.

1. **Xác định các điểm**:
- Giả sử \( A, B, C, D \) là các điểm trong không gian.
- Trọng tâm \( M \) của tam giác \( ABC \) được xác định bởi công thức:
\[
M = \frac{A + B + C}{3}
\]
- Trọng tâm \( N \) của tam giác \( BCD \) được xác định bởi:
\[
N = \frac{B + C + D}{3}
\]

2. **Tính chất của đoạn thẳng \( MN \)**:
- Đoạn thẳng \( MN \) là hiệu của hai trọng tâm:
\[
MN = N - M = \left(\frac{B + C + D}{3}\right) - \left(\frac{A + B + C}{3}\right) = \frac{D - A}{3}
\]
- Do đó, \( MN \) có hướng giống như đoạn thẳng \( AD \).

3. **Xem xét mặt phẳng**:
- Mặt phẳng \( ABD \) chứa các điểm \( A \), \( B \), và \( D \).
- Mặt phẳng \( ACD \) chứa các điểm \( A \), \( C \), và \( D \).

4. **Quan hệ song song**:
- Để chứng minh \( MN \parallel (ABD) \):
Ta lấy vector pháp tuyến của mặt phẳng \( ABD \) (được xác định bởi \( AB \) và \( AD \)) và thấy rằng vector \( MN \) cũng song song với \( AD \) nên sẽ song song với mặt phẳng \( ABD \).
- Tương tự, \((ACD)\) cũng sẽ có vector pháp tuyến phù hợp, dẫn đến \( MN \parallel (ACD) \).

Tóm lại:
- Ta đã chỉ ra rằng \( MN \) có cùng hướng với đoạn thẳng \( AD \) và vì vậy song song với cả hai mặt phẳng \( (ABD) \) và \( (ACD) \).

Kết luận:
\[
MN \parallel (ABD) \quad \text{và} \quad MN \parallel (ACD)
\]