Để giải bài toán này, ta sẽ làm theo trình tự từng bước để xác định hình dạng của tứ giác AFME, cũng như vị trí của điểm M để tứ giác này là hình vuông.

### a) Tứ giác AFME là hình gì?
Ta đã biết rằng M là điểm thuộc cạnh BC của tam giác ABC vuông tại A. Khi vẽ các đường thẳng song song với AB (cắt AB tại E) và với AC (cắt AC tại F), ta được tứ giác AFME.

Do AB song song với MF và AC song song với AE, theo định lý về các đường thẳng song song, ta suy ra rằng tứ giác AFME là hình bình hành. Điều này là do 2 cặp cạnh đối diện của nó song song và bằng nhau:

- AE || MF và AE = MF
- AF || ME và AF = ME

Vì vậy, tứ giác AFME là một hình bình hành.

### b) Xác định vị trí điểm M trên cạnh BC để tứ giác AFME là hình vuông.
Để tứ giác AFME trở thành hình vuông, ta cần AF = AE = MF = ME. Từ đó, ta cần M được đặt ở vị trí mà các đoạn nối AE và AF bằng nhau.

Gọi độ dài AB = h, AC = b. Từ đó, theo tính chất của tam giác vuông tại A, ta có:

- AE = AM * (h/BC) (đoạn AE tính tương ứng với đoạn BC)
- AF = AM * (b/BC) (đoạn AF tính tương ứng với đoạn BC)

Muốn cho AF = AE, ta có:

\[
AM * \frac{h}{BC} = AM * \frac{b}{BC}
\]

Điều này chỉ xảy ra khi AM không bằng 0, tức là h = b. Nhưng để tứ giác AFME là hình vuông, điều kiện này không đủ.

Các cạnh AE và AF bằng nhau trong tứ giác AFME, có nghĩa là:
\[
AE = AF
\]

Nếu cho M nằm ở vị trí chính giữa BC, tức là BC chia thành 2 phần bằng nhau, ta sẽ có các độ dài AE và AF đồng đều.

### Trực giác:
Nếu ta lấy M là trung điểm của BC, tức là BM = MC, lúc này đường đi AE và AF sẽ đều tương ứng và dẫn đến hình vuông.

### Kết luận:
- Tứ giác AFME là hình bình hành.
- Để AFME là hình vuông, điểm M cần được đặt tại trung điểm của BC.