Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành

Để giải bài toán này, ta cần sử dụng một số kiến thức cơ bản về hình học không gian. Dưới đây là các bước để tính tỉ số \( k = \frac{SC'}{SC} \):

1. **Xác định hệ tọa độ**:
- Cho điểm \( A(0,0,0) \), \( B(a,0,0) \), \( C(a,b,0) \), \( D(0,b,0) \), \( S(0,0,h) \).
- Như vậy, đáy \( ABCD \) là hình bình hành.

2. **Xác định tọa độ điểm M và N**:
- Theo điều kiện, \( M \) và \( N \) nằm trên các cạnh \( SB \) và \( SD \) tương ứng.
- Với \( SM = 2MB \) và \( SN = 2ND \), ta có:
- \( M \) sẽ chia đoạn \( SB \) thành tỉ lệ \( 1:2 \).
- \( N \) sẽ chia đoạn \( SD \) thành tỉ lệ \( 1:2 \).

3. **Tính tọa độ của M và N**:
- Tọa độ của \( M \): \( M\left(\frac{a}{3}, 0, \frac{h}{3}\right) \)
- Tọa độ của \( N \): \( N\left(0, \frac{b}{3}, \frac{h}{3}\right) \)

4. **Tính phương trình mặt phẳng (AMN)**:
- Sử dụng định thức để tìm phương trình mặt phẳng chứa ba điểm \( A, M, N \). Phương trình mặt phẳng sẽ có dạng:
\[
(x_a - x_b)(y - y_b) - (y_a - y_b)(x - x_b) = 0
\]
- Với tọa độ các điểm, ta có thể tính được cỏn phương trình của mặt phẳng này.

5. **Xác định giao điểm SC với mặt phẳng (AMN)**:
- Biểu diễn điểm \( C \) có tọa độ là \( (a, b, 0) \).
- Từ mặt phẳng và đường thẳng \( SC \), xác định điểm \( C' \). Có thể sử dụng tỉ lệ hình học hoặc tham số để giải quyết.

6. **Tính tỉ số \( k \)**:
- Sau khi tìm được vị trí \( C' \) trong mặt phẳng, so sánh với đoạn \( SC \) để tính tỉ số \( k = \frac{SC'}{SC} \).

Việc tính toán cụ thể sẽ yêu cầu thực hiện từng bước một và xử lý các phương trình đại số tương ứng. Nếu cần thêm chi tiết ở bước nào, hãy cho mình biết!