Cho tam giác ABC có M, N là trung điểm AB; AC. Lấy điểm P đối xứng M qua N. Chứng minh: Tứ giác BMCP là hình bình hành

Để chứng minh tứ giác \(BMCP\) là hình bình hành, ta sẽ sử dụng các tính chất của các điểm và hình học trong tam giác.

**a) Chứng minh \(\triangle ANM = \triangle CNP\):**

1. **Các cặp bằng nhau:**
- \(AM = MB\) (M là trung điểm của AB)
- \(AN = NC\) (N là trung điểm của AC)
- \(MN\) là đoạn nối giữa các trung điểm và song song với \(BC\).

2. **Góc:**
- Góc \(ANM\) với góc \(CNP\) là hai góc đồng vị nên chúng bằng nhau.

Từ đó, ta có:
\[
\triangle ANM \cong \triangle CNP
\]

**b) Chứng minh tứ giác \(BMCP\) là hình bình hành:**

1. **Cần chứng minh:** \(BM \parallel PC\) và \(BP \parallel MC\).

- **Chứng minh \(BM \parallel PC\):**
- Từ kết quả ở bước a, ta có \(\triangle ANM \cong \triangle CNP\), suy ra \(AN = CN\) và \(MN \parallel BC\).
- Do đó, \(BM\) và \(PC\) sẽ song song.

- **Chứng minh \(BP \parallel MC\):**
- Điểm \(P\) là đối xứng của \(M\) qua \(N\), do đó \(MN = NP\).
- Hai đoạn thẳng này song song với nhau.

Vì vậy, ta có hai cặp cạnh đối diện song song trong tứ giác \(BMCP\).

**Kết luận:** Tứ giác \(BMCP\) là hình bình hành.