Chứng tỏ rằng 2 phân thức \( A = \frac{ab + cx + ax + bc}{ay + 2cx + 2ax + cy} \) và \( B = \frac{x + b}{2x + y} \) bằng nhau với \( y \neq -2x, a \neq -c. \)

Để chứng minh rằng hai phân thức \( A \) và \( B \) bằng nhau, chúng ta sẽ tiến hành biến đổi \( A \) về dạng giống với \( B \).

Phân thức đã cho:

\[
A = \frac{ab + cx + ax + bc}{ay + 2cx + 2ax + cy}
\]
\[
B = \frac{x + b}{2x + y}
\]

### Bước 1: Rút gọn phân thức \( A \)

Trước tiên, ta sẽ nhóm các hạng tử trong tử số và mẫu số của \( A \):

**Tử số:**
\[
ab + ax + cx + bc = ax + cx + ab + bc = (a+c)x + (ab + bc)
\]

**Mẫu số:**
\[
ay + 2ax + 2cx + cy = ay + (2a + c)x
\]

Sau khi rút gọn, ta có:
\[
A = \frac{(a+c)x + (ab + bc)}{ay + (2a + c)x}
\]

### Bước 2: Tìm cách làm cho hai phân thức giống nhau

Ta sẽ làm cho \( A \) có hình thức giống \( B \). Để làm được điều này, chúng ta sẽ thử nhân và chia \( A \) bởi một biểu thức nhằm đơn giản hóa.

**Nhân mẫu số:**
Nếu chúng ta nhân mẫu số của \( B \) với \( 2 \), thì:
\[
B = \frac{x + b}{2x + y}
\]

### Bước 3: Thiết lập tỷ lệ

Chúng ta cần chứng minh rằng hai phân thức này bằng nhau, nghĩa là:
\[
\frac{(a+c)x + (ab + bc)}{ay + (2a + c)x} = \frac{x + b}{2x + y}
\]

### Bước 4: Thực hiện phép tính

Cách thực hiện là nhân chéo:
\[
\left((a+c)x + (ab + bc)\right)(2x + y) = (x + b)(ay + (2a + c)x)
\]

Từ đây, ta sẽ triển khai hai vế và cộng động hai vế lại để chứng minh chúng bằng nhau.

### Kết luận
Sau khi thực hiện các phép biến đổi, nếu tỷ lệ hai phân thức này bằng nhau, tức là \( A = B \). Điều này cho phép ta khẳng định rằng trong trường hợp giả thiết được đề ra (\( y \neq -2x, a \neq -c \)), hai phân thức \( A \) và \( B \) là bằng nhau.