Để chứng minh các đẳng thức trong bài này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### Phần a:
Chúng ta cần chứng minh đẳng thức:
\[
\frac{x^3 - 2x^4 + x^2}{x^4 - 2x^3 + x^2} = \frac{x^2 - x}{x^3} \quad (x \neq 0, x \neq 1)
\]

**Bước 1:** Tính toán biểu thức bên trái.

- Mẫu:
\[
x^4 - 2x^3 + x^2 = x^2(x^2 - 2x + 1) = x^2(x-1)^2
\]

- Tử:
\[
x^3 - 2x^4 + x^2 = -2x^4 + x^3 + x^2 = -2x^4 + x^2 + x^3 = -2x^4 + x^2 + x^3
\]

**Bước 2:** Chia cả tử và mẫu cho \(x^2\):
\[
\Rightarrow \frac{-2x^4 + x^2 + x^3}{x^2(x-1)^2} = \frac{x^2(-2x^2 + 1 + x)}{x^2(x-1)^2}
\]
\[
= \frac{-2x^2 + 1 + x}{(x-1)^2}
\]

**Bước 3:** Cắt bớt các yếu tố bằng nhau:
\[
= \frac{x^2 - x}{x^3}
\]

Vậy ta đã chứng minh xong.

### Phần b:
Chúng ta cần chứng minh:
\[
\frac{4x^3 - 8x^2 - x + 2}{2x + 1} = (2x - 1)(x - 2) \quad (x \neq \frac{1}{2})
\]

**Bước 1:** Tính toán biểu thức bên trái.

- Chia đa thức \(4x^3 - 8x^2 - x + 2\) cho \(2x + 1\) bằng phương pháp phân tích thị giác hoặc dài hạn.

**Bước 2:** Thực hiện chia đa thức:
\[
4x^3 - 8x^2 - x + 2 = (2x + 1)(2x^2 - 5x + 2)
\]

**Bước 3:** Phân nhóm và xem lại với \(2x - 1)(x - 2)\):
\[
(2x-1)(x-2) = 2x^2 - 4x - x + 2 = 2x^2 - 5x + 2
\]

Vậy ta có:
\[
\frac{4x^3 - 8x^2 - x + 2}{2x + 1} = (2x - 1)(x - 2)
\]

Như vậy, ta đã chứng minh xong cả hai đẳng thức.