Để giải quyết các bài toán đã cho, ta sẽ từng bước phân tích từng phần:

### Bài 7
a) **Chứng minh ΔABD đều và OE // BD.**

1. **Chứng minh ΔABD đều:**
- Vì AB là đường kính của nửa đường tròn (O), nên góc ACB = 90° (điểm C nằm trên theo định lý về góc nội tiếp). Do đó, ΔABD là tam giác vuông tại C.
- Ta chỉ cần chỉ ra rằng AC = BC.
- Xét vị trí của điểm E (do đường (Ax) là tiếp tuyến, AE vuông góc với Ax, và BE vuông góc với AC).
- Từ đó suy ra AE = BE. Do đó AB = AC + BC, và AC = BC => ΔABD cân tại A.

2. **Chứng minh OE // BD:**
- Góc OAE = góc ABD = 90° (tiếp tuyến cắt bán kính).
- Do đó, có OE // BD vì góc đối đỉnh bằng nhau.

b) **Chứng minh DI ⊥ AB:**

- Vì DI là đường chéo từ I (giao điểm AC và BE) tới D, và BE vuông góc với AC tại I (giao điểm). Do đó, DI hợp với AB một góc 90°.

### Bài 8
**Chứng minh DF ⊥ EF.**

1. Vì D là điểm trên đường tròn (O) và F nằm trên OB, nên CF cắt (O) tại D.
2. Có thể thấy rằng ED là tiếp tuyến tại D. Do đó, DF vuông góc với EF tại E theo định nghĩa tiếp tuyến của đường tròn.

### Bài 9
a) **Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của 2 nửa đường tròn.**

1. Tương tự như trên, EF sẽ là tiếp tuyến của cả 2 nửa đường tròn vì góc ADB = 90° mà D là điểm trên nửa đường tròn AB. Do đó, EF sẽ đồng nhất với tiếp tuyến tại điểm D và tại điểm F.

b) **Chứng minh EF² = AB.BC.**

1. Theo định lý tiếp tuyến, EF² = AD * BC, mà AD = AB và BC (do các tuyến đường).
2. Áp dụng định lý Pythagoras cho ΔABC sẽ chứng minh rằng EF² = AB * BC.

Với các lập luận và chứng minh trên, các khai thác từ hình học và định lý đánh giá tính chất của hình sẽ cho ta kết quả mong muốn cho mỗi bài toán.