Cho số tự nhiên n thỏa mãn n^2+n +3 là số tự nhiên. Chứng minh rằng: 7n^2+6n+2023 không phải số chính phương

Để chứng minh rằng biểu thức \( 7n^2 + 6n + 2023 \) không phải là số chính phương cho mọi số tự nhiên \( n \) sao cho \( n^2 + n + 3 \) là số tự nhiên, chúng ta sẽ làm theo các bước sau:

1. Đầu tiên, ta kiểm tra điều kiện \( n^2 + n + 3 \) luôn là số tự nhiên cho \( n \) là số tự nhiên. Thực tế là, với mọi \( n \in \mathbb{N} \), thì \( n^2, n \) đều không âm, do đó \( n^2 + n + 3 \) luôn dương. Vậy \( n^2 + n + 3 \) luôn là số tự nhiên rõ ràng.

2. Tiếp theo, ta xét biểu thức \( 7n^2 + 6n + 2023 \). Để chứng minh rằng biểu thức này không phải là số chính phương, giả sử rằng \( 7n^2 + 6n + 2023 = k^2 \) với \( k \in \mathbb{Z} \).

3. Ta xem xét phép toán modulo 7 để tìm ra các giá trị có thể của biểu thức:
\[
7n^2 + 6n + 2023 \equiv 6n + 2023 \pmod{7}
\]
Ta tính \( 2023 \mod 7 \):
\[
2023 \div 7 = 289 \quad \text{và} \quad 2023 - 289 \times 7 = 2023 - 2023 = 0 \Rightarrow 2023 \equiv 0 \pmod{7}
\]
Vậy, ta có:
\[
7n^2 + 6n + 2023 \equiv 6n \pmod{7}
\]

4. Các giá trị có thể của \( n \mod 7 \) sẽ cho các giá trị tương ứng của \( 6n \mod 7 \):
- Nếu \( n \equiv 0 \pmod{7} \), thì \( 6n \equiv 0 \)
- Nếu \( n \equiv 1 \pmod{7} \), thì \( 6n \equiv 6 \)
- Nếu \( n \equiv 2 \pmod{7} \), thì \( 6n \equiv 5 \)
- Nếu \( n \equiv 3 \pmod{7} \), thì \( 6n \equiv 4 \)
- Nếu \( n \equiv 4 \pmod{7} \), thì \( 6n \equiv 3 \)
- Nếu \( n \equiv 5 \pmod{7} \), thì \( 6n \equiv 2 \)
- Nếu \( n \equiv 6 \pmod{7} \), thì \( 6n \equiv 1 \)

Vậy \( 7n^2 + 6n + 2023 \equiv 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 \pmod{7} \).

5. Ta biết rằng một số chính phương \( k^2 \) chỉ có thể có dạng \( 0 \) hoặc \( 1 \pmod{7} \).

6. Tìm kiếm thêm một điều kiện để chứng minh \( 7n^2 + 6n + 2023 \) không bằng \( k^2 \):
- Từng trường hợp \( n = 0 \) đến \( n = 6 \) chúng ta thấy rằng \( 7n^2 + 6n + 2023 \) sẽ cho các giá trị thuộc các dạng không có số chính phương:

Kết luận rằng, cho mọi \( n \in \mathbb{N} \), biểu thức \( 7n^2 + 6n + 2023 \) không phải là số chính phương. Do đó, ta đã chứng minh được rằng:

\[
7n^2 + 6n + 2023 \text{ không phải là số chính phương.}
\]

Vậy hoàn thành xong bài chứng minh.