Để tìm tọa độ của điểm \( C \) trên cung nhỏ \( AB \) của parabol \( P: y = x^2 \) sao cho diện tích tam giác \( ABC \) là lớn nhất, ta thực hiện theo các bước sau:

1. **Tìm tọa độ của điểm A và B:**
- Điểm \( A \) có tọa độ \( A(-1, 1) \) (vì \( y = (-1)^2 = 1 \)).
- Điểm \( B \) có tọa độ \( B(3, 9) \) (vì \( y = 3^2 = 9 \)).

2. **Tọa độ của điểm C:**
- Giả sử tọa độ điểm \( C \) là \( C(x, y) \) với \( y = x^2 \).

3. **Công thức diện tích tam giác:**
- Diện tích của tam giác \( ABC \) được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \left| x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B) \right|
\]
Thay vào công thức trên:
\[
S = \frac{1}{2} \left| (-1)(9 - x^2) + 3(x^2 - 1) + x(1 - 9) \right|
\]

4. **Tính diện tích S và tối ưu hóa:**
- Tính toán biểu thức diện tích:
\[
S = \frac{1}{2} \left| -9 + x^2 + 3x^2 - 3 + x - 9x \right| = \frac{1}{2} \left| 4x^2 - 8x - 12 \right|
\]
\[
S = \frac{1}{2} |4x^2 - 8x - 12|
\]

5. **Tối ưu hóa biểu thức diện tích:**
- Để tìm cực trị, ta lấy đạo hàm của biểu thức \( 4x^2 - 8x - 12 \) và giải phương trình.
- Đạo hàm:
\[
S' = 8x - 8
\]
Giải \( S' = 0 \) để tìm giá trị của \( x \):
\[
8x - 8 = 0 \implies x = 1
\]

6. **Kiểm tra giá trị \( x = 1 \):**
- Khi \( x = 1 \), \( y = x^2 = 1 \), nên điểm \( C(1, 1) \).

7. **Kết luận:**
- Tọa độ điểm \( C \) trên cung nhỏ \( AB \) của parabol sao cho diện tích tam giác \( ABC \) là lớn nhất là \( C(1, 1) \).