Để giải bất phương trình \((x-1)^{2} + x^{2} \leq (2x+1)^{2} + (2x+2)^{2}\), ta sẽ thực hiện như sau:

1. **Tính các vế**:

- Vế trái:
\[
(x-1)^{2} + x^{2} = (x^{2} - 2x + 1) + x^{2} = 2x^{2} - 2x + 1
\]

- Vế phải:
\[
(2x+1)^{2} + (2x+2)^{2} = (4x^{2} + 4x + 1) + (4x^{2} + 8x + 4) = 8x^{2} + 12x + 5
\]

2. **So sánh vế trái và vế phải**:
\[
2x^{2} - 2x + 1 \leq 8x^{2} + 12x + 5
\]

3. **Chuyển tất cả về một phía**:
\[
2x^{2} - 2x + 1 - 8x^{2} - 12x - 5 \leq 0
\]
\[
-6x^{2} - 14x - 4 \leq 0
\]

4. **Nhân cả hai vế với -1** (chú ý đổi chiều bất phương trình):
\[
6x^{2} + 14x + 4 \geq 0
\]

5. **Xét biểu thức bậc 2**:
Tính delta (\( \Delta \)):
\[
\Delta = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 6 \cdot 4 = 196 - 96 = 100
\]
\(\Delta \geq 0\) nên phương trình có hai nghiệm:
\[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-14 \pm 10}{12}
\]
Tính:
\[
x_1 = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}, \quad x_2 = \frac{-24}{12} = -2
\]

6. **Bảng xét dấu**:
Xét biểu thức \(6x^{2} + 14x + 4\):
- Khi \(x < -2\): biểu thức dương.
- Trong khoảng \([-2, -\frac{1}{3}]\): biểu thức âm.
- Khi \(x > -\frac{1}{3}\): biểu thức dương.

Vậy bất phương trình \(6x^{2} + 14x + 4 \geq 0\) thỏa mãn với các khoảng:
\[
x \in (-\infty, -2] \cup [-\frac{1}{3}, +\infty)
\]

**Kết luận**:
Kết quả là \(x \in (-\infty, -2] \cup [-\frac{1}{3}, +\infty)\).