Cho tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AM. Kẻ MD song song với AB, ME song song với AC (D thuộc AC, E thuộc AB)

Để giải bài toán liên quan đến tứ giác \(ADME\), ta tiến hành các bước như sau:

### a) Tứ giác \(ADME\) là hình gì? Vì sao?

Tứ giác \(ADME\) là hình hình chữ nhật. Để chứng minh điều này, ta có:

- Hình tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), với \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\).
- Các đoạn thẳng \(MD\) và \(ME\) được kẻ song song với các cạnh của tam giác \(ABC\), cụ thể:
- \(MD \parallel AB\)
- \(ME \parallel AC\)

Vì \(MD \parallel AB\) và \(ME \parallel AC\), nên \(ADME\) có các cặp cạnh đối diện song song. Hơn nữa, góc \(ADE\) và góc \(DME\) đều là các góc vuông (do \(AB\) và \(AC\) vuông), do đó các cạnh liền kề của tứ giác \(ADME\) tạo thành các góc vuông với nhau.

Vì vậy, tứ giác \(ADME\) là hình chữ nhật.

### b) Tìm vị trí của \(M\) trên cạnh \(BC\) để \(ADME\) là hình vuông?

Khi cần \(ADME\) là hình vuông, nghĩa là tất cả các cạnh của hình đều bằng nhau. Để xác định vị trí của \(M\), ta cần đảm bảo rằng độ dài \(AD = DE = EM = MA\).

Gọi độ dài của \(AB\) là \(h\) và độ dài của \(AC\) là \(b\). Khi \(M\) nằm trên \(BC\), nó chia
cạnh \(BC\) thành 2 đoạn: \(BM\) và \(MC\).

- Độ dài \(AD\) (trên chiều dọc, từ \(A\) đến \(D\) dọc theo \(AC\)).
- Độ dài \(DE\) (trên chiều ngang, từ \(D\) đến \(E\) ngang với \(AB\)).
- Để hai tứ giác trên là hình vuông, ta cần đảm bảo rằng các đoạn là bằng nhau.

Từ mối quan hệ này, ta sẽ có các phương trình cần giải quyết để tìm vị trí của điểm \(M\).

### c) Cho \(BC = 8cm\). Tính độ dài đoạn thẳng \(DE\).

Từ dữ liệu cho rằng \(BC = 8cm\), và xét cục bộ.

Ta biết rằng \(M\) là trung điểm của \(BC\), do đó độ dài \(BM = MC = 4cm\).

Vì \(ADME\) là hình chữ nhật (và cần cân nhắc nó trở thành hình vuông), cho nên độ dài của đoạn thẳng \(DE\) sẽ bằng với các cạnh còn lại.

Trong một số hình học, \(DE\) có thể liên quan trực tiếp đến chiều cao từ \(A\) xuống cạnh \(DE\), do điểm M chia BC này thành hình vuông. Dựa vào координат và mối quan hệ giữa cạnh \(BC\):

Nếu \(b\) và \(h\) lần lượt là chiều dài của \(AB\) và \(AC\) thì,

\[ DE = AB = AC = 4 cm \]

### Kết luận:
- Tứ giác \(ADME\) là hình chữ nhật.
- Để \(ADME\) trở thành hình vuông, \(M\) cần đặt tại vị trí mà chiều dài các đoạn nối lại tạo thành hình vuông đồng thời phù hợp với yêu cầu bài toán.
- Đoạn thẳng \(DE\) sẽ tạo thành sau khi tìm điều kiện cho \(M\).

Trong các trường hợp cụ thể, ta có thể có các giá trị khác nhau cho \(b\) và \(h\).