Để tìm số nguyên \( a \) sao cho số hữu tỉ \( x = \frac{-2019}{a+6} \) là một số nguyên, ta cần điều kiện là \( a + 6 \) phải là một ước của \( -2019 \).

1. **Tính các ước của \( -2019 \)**: Đầu tiên, cần phân tích số \( 2019 \) ra thừa số nguyên tố:
\[
2019 = 3 \times 673
\]
Vậy ước của \( 2019 \) là các số: \( \pm 1, \pm 3, \pm 673, \pm 2019 \).

2. **Liên hệ giữa \( a \) và \( a + 6 \)**: Gọi \( d \) là một ước của \( -2019 \):
\[
a + 6 = d \implies a = d - 6
\]

3. **Tính các giá trị của \( a \)**:
- Nếu \( d = 1 \), thì \( a = 1 - 6 = -5 \)
- Nếu \( d = -1 \), thì \( a = -1 - 6 = -7 \)
- Nếu \( d = 3 \), thì \( a = 3 - 6 = -3 \)
- Nếu \( d = -3 \), thì \( a = -3 - 6 = -9 \)
- Nếu \( d = 673 \), thì \( a = 673 - 6 = 667 \)
- Nếu \( d = -673 \), thì \( a = -673 - 6 = -679 \)
- Nếu \( d = 2019 \), thì \( a = 2019 - 6 = 2013 \)
- Nếu \( d = -2019 \), thì \( a = -2019 - 6 = -2025 \)

4. **Tổng kết các giá trị của \( a \)**: Các giá trị có thể có cho \( a \) là:
\[
a = -5, -7, -3, -9, 667, -679, 2013, -2025
\]

Như vậy, các giá trị nguyên của \( a \) để \( x \) là một số nguyên là: \( -5, -7, -3, -9, 667, -679, 2013, -2025 \).