Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ABCD

Để tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác \(ABCD\) với các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) nằm trên đường tròn \((O; R)\), chúng ta có thể sử dụng định lý về diện tích của tứ giác.

Diện tích \(S\) của tứ giác \(ABCD\) có thể được tính bằng công thức:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot (AC \cdot BD) \cdot \sin \angle AOB
\]

Với \(\angle AOB\) là góc giữa hai đoạn thẳng \(OA\) và \(OB\), vì \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) đều nằm trên đường tròn, chúng ta có thể áp dụng một kết quả đặc biệt trong hình học: diện tích lớn nhất của một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn đạt được khi là hình vuông.

Diện tích tối đa của tứ giác nội tiếp trong đường tròn được tính bằng công thức:

\[
S_{max} = R^2
\]

do vậy diện tích tối đa sẽ là tối đa khi tứ giác ABCD trở thành hình vuông. Vậy nên, nếu các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) cùng nằm trên đường tròn bán kính \(R\), thì giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác \(ABCD\) là:

\[
\boxed{2R^2}
\]

Điều này xảy ra khi các điểm này được vị trí tương ứng với các đỉnh không đối diện trên hình vuông nội tiếp trong đường tròn.