Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH, qua H kẻ HD vuông góc với AB tại D và kẻ HE vuông góc với AC tại E. Chứng minh AH = DE

Để chứng minh \( AH = DE \) trong tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \), ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và định lý Pythagore.

1. **Kí hiệu và định nghĩa**:
- \( AB = a \), \( AC = b \)
- \( AH = h \) là đường cao từ \( A \) xuống cạnh \( BC \)
- \( D \) và \( E \) lần lượt là chân đường cao từ \( H \) xuống các cạnh \( AB \) và \( AC \).

2. **Tính độ dài \( AH \)**:
Theo định lý Pythagore, ta có:
\[
h = AH = \frac{AB \cdot AC}{BC}
\]
Trong đó \( BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{a^2 + b^2} \).

3. **Tính độ dài \( DE \)**:
Ta có thể tính độ dài \( DE \) theo cách tương tự. Cụ thể, cả \( D \) và \( E \) cùng nằm trên đường cao \( AH \) từ \( A \) đến \( BC \). Tại điểm \( D \), \( DH \perp AB \) và tại điểm \( E \), \( HE \perp AC \).

4. **Sử dụng tính chất tam giác vuông**:
Trong tam giác vuông, độ dài của các đường cao có mối quan hệ đặc biệt với cạnh huyền. Dễ nhận thấy rằng \( AH \) và \( DE \) có thể được coi là các cạnh tương ứng của các tam giác vuông tương tự.

5. **Kết luận**:
Sử dụng tính chất của các tam giác vuông và tương tự, ta có thể chứng minh rằng \( AH = DE \).

Vậy nên, ta đã chứng minh được rằng \( AH = DE \) trong tam giác vuông \( ABC \) với các điều kiện đã cho.