Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = e^x + 2x \), chúng ta cần tính nguyên hàm của từng phần của \( f(x) \).

1. **Tính nguyên hàm của \( f(x) \)**:

\[
F(x) = \int (e^x + 2x) \, dx
\]

Ta tách thành hai phần:

\[
F(x) = \int e^x \, dx + \int 2x \, dx
\]

- Nguyên hàm của \( e^x \) là \( e^x \).
- Nguyên hàm của \( 2x \) là \( x^2 \) (dùng công thức nguyên hàm \( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) với \( n=1 \)).

Vậy ta có:

\[
F(x) = e^x + x^2 + C
\]

2. **Sử dụng điều kiện để tìm \( C \)**:

Theo đề bài, chúng ta có điều kiện \( F(0) = \frac{3}{2} \).

Tính \( F(0) \):

\[
F(0) = e^0 + 0^2 + C = 1 + C
\]

Đặt \( F(0) = \frac{3}{2} \):

\[
1 + C = \frac{3}{2}
\]

Giải phương trình:

\[
C = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}
\]

3. **Kết luận**:

Vậy \( F(x) \) là:

\[
F(x) = e^x + x^2 + \frac{1}{2}
\]